Exercício 2 Diga se os pares de espaços vetoriais sobre
a seguir são isomorfos:
e
;
Passo 1
O enunciado pede para verificar se os espaços vetoriais
e
são isomorfos sobre
. Vamos usar dois caminhos: (i) comparar dimensões e (ii) encontrar uma aplicação linear bijetora entre eles.
Lembrando que, em espaços vetoriais de dimensão finita sobre o mesmo corpo, igualdade de dimensão implica isomorfismo. Além disso, um isomorfismo é uma transformação linear que é ao mesmo tempo injetora e sobrejetora.
Lembrando que, em espaços vetoriais de dimensão finita sobre o mesmo corpo, igualdade de dimensão implica isomorfismo. Além disso, um isomorfismo é uma transformação linear que é ao mesmo tempo injetora e sobrejetora.
Passo 2
Calculemos as dimensões:
A base padrão de é
A base padrão de
logo
.
Em podemos tomar como base as matrizes
Em
de onde
.
Passo 3
Como ambas têm dimensão
sobre
, conclui-se que existem isomorfismos entre elas. Para deixar explícito, definimos
Passo 4
Verifiquemos rapidamente que
é um isomorfismo:
— Linearidade: para e
,
— Linearidade: para
— Injetividade:
implica
e
.
— Sobrejetividade: dado qualquer , basta .
— Sobrejetividade: dado qualquer , basta
Resposta
Sim,
e
são isomorfos. Um isomorfismo explícito é