Exercício 2 Diga se os pares de espaços vetoriais sobre \mathbb{R} a seguir são isomorfos:
\mathbb{R}^{2} e \mathcal{M}_{2 \times 1}(\mathbb{R});

Passo 1

O enunciado pede para verificar se os espaços vetoriais \mathbb{R}^2 e \mathcal{M}_{2\times1}(\mathbb{R}) são isomorfos sobre \mathbb{R}. Vamos usar dois caminhos: (i) comparar dimensões e (ii) encontrar uma aplicação linear bijetora entre eles.
Lembrando que, em espaços vetoriais de dimensão finita sobre o mesmo corpo, igualdade de dimensão implica isomorfismo. Além disso, um isomorfismo é uma transformação linear que é ao mesmo tempo injetora e sobrejetora.

Passo 2

Calculemos as dimensões:
A base padrão de \mathbb{R}^2 é
\{\,e_1=(1,0),\;e_2=(0,1)\},
logo \dim(\mathbb{R}^2)=2.
Em \mathcal{M}_{2\times1}(\mathbb{R}) podemos tomar como base as matrizes
E_1 = \begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix},\quad E_2 = \begin{pmatrix}0\\\ 1\end{pmatrix},
de onde \dim\bigl(\mathcal{M}_{2\times1}(\mathbb{R})\bigr)=2.

Passo 3

Como ambas têm dimensão 2 sobre \mathbb{R}, conclui-se que existem isomorfismos entre elas. Para deixar explícito, definimos
\varphi:\mathbb{R}^2 \to \mathcal{M}_{2\times1}(\mathbb{R}), \qquad \varphi(x,y) = \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}.

Passo 4

Verifiquemos rapidamente que \varphi é um isomorfismo:
— Linearidade: para (x,y),(x',y')\in\mathbb{R}^2 e \lambda\in\mathbb{R},
\varphi\bigl((x,y)+(x',y')\bigr) = \begin{pmatrix}x+x'\y+y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}x'\y'\end{pmatrix} = \varphi(x,y)+\varphi(x',y'),
\varphi\bigl(\lambda\cdot(x,y)\bigr) = \begin{pmatrix}\lambda x\\lambda y\end{pmatrix} = \lambda\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \lambda\,\varphi(x,y).
— Injetividade: \varphi(x,y)=0 implica x=0 e y=0.
— Sobrejetividade: dado qualquer \begin{pmatrix}a\b\end{pmatrix}, basta (x,y)=(a,b).

Resposta

Sim, \mathbb{R}^2 e \mathcal{M}_{2\times1}(\mathbb{R}) são isomorfos. Um isomorfismo explícito é
\varphi(x,y)=\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}.

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