Seja a hipérbole de eixo vertical e centro na origem, cuja equação polar é \rho=\frac{24}{5-7 \cos \theta}. Determine sua equação reduzida e as equações paramétricas.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a hipérbole cujo foco está na origem e cuja equação em coordenadas polares é
\rho = \frac{24}{5 - 7\cos\theta}.
O objetivo é converter essa equação para coordenadas cartesianas, obter a forma reduzida padrão da hipérbole e, a partir daí, escrever equações paramétricas. Vamos usar as relações
x = \rho\cos\theta,\quad y = \rho\sin\theta,\quad \rho = \sqrt{x^2+y^2},
além de completar quadrados e parametrizar a forma reduzida.

Passo 2

Substituindo em
\rho(5 - 7\cos\theta) = 24
temos
5\rho - 7x = 24 \quad\Longrightarrow\quad 5\sqrt{x^2+y^2} = 7x + 24.

Passo 3

Elevando ao quadrado e rearranjando:
25(x^2+y^2) = (7x+24)^2 = 49x^2 + 336x + 576
25x^2 + 25y^2 = 49x^2 + 336x + 576 \quad\Longrightarrow\quad 24x^2 - 25y^2 + 336x + 576 = 0.
Agora, complete o quadrado em x:
24\bigl(x^2+14x\bigr)-25y^2+576=0 \quad\Longrightarrow\quad 24\bigl((x+7)^2-49\bigr)-25y^2+576=0
24(x+7)^2 - 1176 -25y^2 +576 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 24(x+7)^2 - 25y^2 = 600.
Dividindo por 600, obtemos a forma reduzida
\frac{(x+7)^2}{25}\;-\;\frac{y^2}{24} \;=\;1.

Passo 4

Da forma
\frac{(x+7)^2}{5^2} - \frac{y^2}{(\sqrt{24})^2} = 1
vemos que a=5 e b=\sqrt{24}=2\sqrt6.
– Parametrização trigonométrica:
x+7 = 5\operatorname{sec} t,\quad y = 2\sqrt6\tan t, \quad t\in\bigl(-\tfrac\pi2,\tfrac\pi2\bigr).
Isto é,
x = -7 + 5\operatorname{sec} t, \quad y = 2\sqrt6\,\tan t.
– Parametrização hiperbólica (outra opção):
x+7 = 5\operatorname{cosh} u,\quad y = 2\sqrt6\,\operatorname{sinh} u, \quad u\in\mathbb R.

Resposta

Equação reduzida:
\frac{(x+7)^2}{25} \;-\;\frac{y^2}{24} = 1.
Equações paramétricas (trigonométricas):
x = -7 + 5\operatorname{sec} t,\quad y = 2\sqrt6\,\tan t, \quad t\in\bigl(-\tfrac\pi2,\tfrac\pi2\bigr).
Equações paramétricas (hiperbólicas):
x = -7 + 5\operatorname{cosh} u,\quad y = 2\sqrt6\,\operatorname{sinh} u, \quad u\in\mathbb R.

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