Exercício 2 Diga se os pares de espaços vetoriais sobre
a seguir são isomorfos:
e
;
Passo 1
O enunciado pede para verificar se os espaços vetoriais sobre
e
são isomorfos.
O conteúdo chave é a noção de dimensão em espaços vetoriais finito-dimensionais e o critério de isomorfismo: dois espaços são isomorfos se, e somente se, têm a mesma dimensão finita.
O conteúdo chave é a noção de dimensão em espaços vetoriais finito-dimensionais e o critério de isomorfismo: dois espaços são isomorfos se, e somente se, têm a mesma dimensão finita.
Passo 2
Vamos calcular
.
Uma matriz em é da forma
.
Uma base natural é
Uma matriz em
Uma base natural é
Logo
Passo 3
Agora
.
Um polinômio em é
.
A base canônica é
Um polinômio em
A base canônica é
de modo que
Passo 4
Pelo teorema dos espaços de dimensão finita, dois espaços vetoriais sobre o mesmo corpo são isomorfos se, e somente se, têm a mesma dimensão. Como ambos têm dimensão
, concluímos que são isomorfos.
Uma isomorfia explícita pode ser dada por
Uma isomorfia explícita
É fácil verificar que
é linear e bijetiva, logo é um isomorfismo.
Resposta
Sim,
e
são isomorfos.