Exercício 2 Diga se os pares de espaços vetoriais sobre \mathbb{R} a seguir são isomorfos:
\mathcal{M}_{1 \times 3}(\mathbb{R}) e P_{2}(\mathbb{R});

Passo 1

O enunciado pede para verificar se os espaços vetoriais sobre \mathbb{R}
\mathcal{M}_{1\times3}(\mathbb{R}) e P_{2}(\mathbb{R}) são isomorfos.
O conteúdo chave é a noção de dimensão em espaços vetoriais finito-dimensionais e o critério de isomorfismo: dois espaços são isomorfos se, e somente se, têm a mesma dimensão finita.

Passo 2

Vamos calcular \dim\bigl(\mathcal{M}_{1\times3}(\mathbb{R})\bigr).
Uma matriz em \mathcal{M}_{1\times3}(\mathbb{R}) é da forma \bigl[a\;\;b\;\;c\bigr].
Uma base natural é
E_1 = [1\;0\;0],\quad E_2 = [0\;1\;0],\quad E_3 = [0\;0\;1].
Logo
\dim\bigl(\mathcal{M}_{1\times3}(\mathbb{R})\bigr)=3.

Passo 3

Agora \dim\bigl(P_{2}(\mathbb{R})\bigr).
Um polinômio em P_2(\mathbb{R}) é p(x)=a + b\,x + c\,x^2.
A base canônica é
1,\quad x,\quad x^2,
de modo que
\dim\bigl(P_{2}(\mathbb{R})\bigr)=3.

Passo 4

Pelo teorema dos espaços de dimensão finita, dois espaços vetoriais sobre o mesmo corpo são isomorfos se, e somente se, têm a mesma dimensão. Como ambos têm dimensão 3, concluímos que são isomorfos.
Uma isomorfia explícita \varphi\colon \mathcal{M}_{1\times3}(\mathbb{R})\to P_{2}(\mathbb{R}) pode ser dada por
\varphi\bigl([a\;b\;c]\bigr)=a + b\,x + c\,x^2.
É fácil verificar que \varphi é linear e bijetiva, logo é um isomorfismo.

Resposta

Sim, \mathcal{M}_{1\times3}(\mathbb{R}) e P_{2}(\mathbb{R}) são isomorfos.

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