Exercício 2 Diga se os pares de espaços vetoriais sobre \mathbb{R} a seguir são isomorfos:
\mathbb{R}^{2} e \mathbb{C};

Passo 1

O enunciado pede para verificar se \mathbb{R}^{2} e \mathbb{C} são isomorfos como espaços vetoriais sobre \mathbb{R}. O conteúdo é isomorfismo de espaços vetoriais de dimensão finita; vamos comparar as dimensões e construir um isomorfismo explícito.

Passo 2

Mostramos que \mathbb{R}^{2} tem dimensão 2 sobre \mathbb{R}. De fato, a base canônica
\{(1,0),(0,1)\}
é formada por dois vetores linearmente independentes que geram todo \mathbb{R}^{2}.

Passo 3

Mostramos que \mathbb{C} também tem dimensão 2 sobre \mathbb{R}. A base
\{1,i\}
é formada por dois vetores (números complexos) linearmente independentes sobre \mathbb{R} que geram todo \mathbb{C}.

Passo 4

Pelo teorema da dimensão, quaisquer dois espaços vetoriais reais de mesma dimensão finita são isomorfos. Definimos então o mapeamento
\varphi\colon \mathbb{R}^{2}\to \mathbb{C}, \qquad \varphi((x,y)) = x + i y.
É claro que \varphi é linear, injetora (se \varphi((x,y))=0 então x=y=0) e sobrejetora (todo a+ib\in\mathbb{C} é imagem de (a,b)). Logo \varphi é um isomorfismo.

Resposta

Sim, \mathbb{R}^{2} e \mathbb{C} são isomorfos como espaços vetoriais sobre \mathbb{R}, por exemplo via \varphi((x,y))=x+iy.

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