Exercício 2 Diga se os pares de espaços vetoriais sobre
a seguir são isomorfos:
e
;
Passo 1
O enunciado pede para verificar se
e
são isomorfos como espaços vetoriais sobre
. O conteúdo é isomorfismo de espaços vetoriais de dimensão finita; vamos comparar as dimensões e construir um isomorfismo explícito.
Passo 2
Mostramos que
tem dimensão
sobre
. De fato, a base canônica
é formada por dois vetores linearmente independentes que geram todo
.
Passo 3
Mostramos que
também tem dimensão
sobre
. A base
é formada por dois vetores (números complexos) linearmente independentes sobre
que geram todo
.
Passo 4
Pelo teorema da dimensão, quaisquer dois espaços vetoriais reais de mesma dimensão finita são isomorfos. Definimos então o mapeamento
É claro que
é linear, injetora (se
então
) e sobrejetora (todo
é imagem de
). Logo
é um isomorfismo.
Resposta
Sim,
e
são isomorfos como espaços vetoriais sobre
, por exemplo via
.