Exercício 2 Diga se os pares de espaços vetoriais sobre
a seguir são isomorfos:
e
.
Passo 1
O enunciado pergunta se os espaços vetoriais sobre
e
são isomorfos. Para responder, vamos usar o fato de que dois espaços vetoriais sobre o mesmo corpo são isomorfos se e somente se tiverem a mesma dimensão.
são isomorfos. Para responder, vamos usar o fato de que dois espaços vetoriais sobre o mesmo corpo são isomorfos se e somente se tiverem a mesma dimensão.
Passo 2
Calcular a dimensão de
.
Cada matriz tem
entradas livres, logo
Cada matriz
Passo 3
Calcular a dimensão de
.
Por definição,
Por definição,
Passo 4
Aplicar o critério de isomorfismo:
Dois espaços vetoriais sobre são isomorfos se, e somente se, suas dimensões coincidirem. Aqui ambas as dimensões valem
.
Dois espaços vetoriais sobre
Resposta
Sim,
e
são isomorfos.