Exercício 2 Diga se os pares de espaços vetoriais sobre \mathbb{R} a seguir são isomorfos:
\mathcal{M}_{45 \times 45}(\mathbb{R}) e \mathbb{R}^{2025}.

Passo 1

O enunciado pergunta se os espaços vetoriais sobre \mathbb{R}
\mathcal{M}_{45\times45}(\mathbb{R}) e \mathbb{R}^{2025}
são isomorfos. Para responder, vamos usar o fato de que dois espaços vetoriais sobre o mesmo corpo são isomorfos se e somente se tiverem a mesma dimensão.

Passo 2

Calcular a dimensão de \mathcal{M}_{45\times45}(\mathbb{R}).
Cada matriz 45\times45 tem 45\cdot45 entradas livres, logo
\dim\bigl(\mathcal{M}_{45\times45}(\mathbb{R})\bigr) =45\times45=2025.

Passo 3

Calcular a dimensão de \mathbb{R}^{2025}.
Por definição,
\dim\bigl(\mathbb{R}^{2025}\bigr)=2025.

Passo 4

Aplicar o critério de isomorfismo:
Dois espaços vetoriais sobre \mathbb{R} são isomorfos se, e somente se, suas dimensões coincidirem. Aqui ambas as dimensões valem 2025.

Resposta

Sim, \mathcal{M}_{45\times45}(\mathbb{R}) e \mathbb{R}^{2025} são isomorfos.

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