Exercício 1 Verifique qual (ais) das transformações lineares de mathbb{R}^{2} em mathbb{R}^{2} a seguir é invertível e determine sua inversa (se for o caso).
T(x, y)=(x-3 y, y-4 x);

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a transformação linear
\;T\colon\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} definida por
T(x,y) = (\,x - 3y,\;y - 4x\,)
é invertível e, em caso afirmativo, encontrar T^{-1}.
Conteúdo: matrizes de uma transformação linear na base canônica, determinante e inversa de matriz.

Passo 2

Vamos representar T por sua matriz A na base canônica. Calculamos
T(1,0) = (1 - 3\cdot0,\;0 - 4\cdot1) = (1,-4), \quad T(0,1) = (0 - 3\cdot1,\;1 - 4\cdot0) = (-3,1).
Logo,
A = \begin{pmatrix} 1 & -3\\\\ -4 & 1 \end{pmatrix},
pois as colunas de A são T(e_1) e T(e_2).

Passo 3

Calculemos o determinante de A:
\det(A) = 1\cdot1 - (-3)\cdot(-4) = 1 - 12 = -11.
Como \det(A)\neq 0, concluímos que A é invertível e, portanto, T é invertível.

Passo 4

A fórmula geral para a inversa de
\;A = \begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}
é
A^{-1} = \frac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix}d & -b \\\\ -c & a\end{pmatrix}.
Aqui a=1, b=-3, c=-4, d=1 e ad-bc=-11.

Passo 5

Substituindo na fórmula,
A^{-1} = \frac{1}{-11} \begin{pmatrix} 1 & 3\\\\ 4 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\tfrac{1}{11} & -\tfrac{3}{11}\\\\ -\tfrac{4}{11} & -\tfrac{1}{11} \end{pmatrix}.
Assim, a inversa atua por
T^{-1}(x,y) = \Bigl( -\tfrac{1}{11}\,x \;-\;\tfrac{3}{11}\,y, \;-\,\tfrac{4}{11}\,x \;-\;\tfrac{1}{11}\,y \Bigr).

Resposta

T é invertível, e
T^{-1}(x,y) = \Bigl(-\tfrac{x + 3y}{11},\; -\tfrac{4x + y}{11}\Bigr).

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