Exercício 4 Uma urna contém 3 bolas vermelhas e 5 pretas. Duas bolas são selecionadas ao acaso, uma de cada vez e sem reposição desta urna. Determine
(a) a probabilidade de uma bola vermelha ser selecionada na segunda retirada, sabendo que uma bola vermelha foi selecionada na primeira retirada; ocorreu;
(b) a probabilidade de uma bola vermelha ser selecionada na segunda retirada, sabendo que uma bola branca foi selecionada na primeira retirada;
(c) a probabilidade de uma bola vermelha ser selecionada na segunda retirada;
(d) a probabilidade de uma bola vermelha ser selecionada na primeira retirada, sabendo que uma bola vermelha foi selecionada na segunda retirada;
(e) a probabilidade de uma bola vermelha ser selecionada na primeira retirada, sabendo que pelo menos uma bola vermelha foi nas duas retiradas;

Passo 1

O enunciado descreve uma urna com 3 bolas vermelhas e 5 bolas pretas, de onde se retiram duas bolas sem reposição, uma de cada vez. Vamos usar:
– definição de probabilidade condicional
P(Amid B)=P(Acap B)P(B),
– lei da probabilidade total
P(A)=P(B)P(Amid B)+P(B^c)P(Amid B^c),
– e raciocínio sobre alteração do número de bolas quando não há reposição.

Passo 2

(a) Queremos
P(2ª vermelhamid 1ª vermelha) ªª
Se a primeira foi vermelha, restam 2 vermelhas em um total de 7 bolas. Logo,
P(2ª vermelhamid 1ª vermelha) =27 ªª

Passo 3

(b) Queremos
P(2ª vermelhamid 1ª preta) ªª
Se a primeira foi preta, ainda há 3 vermelhas em um total de 7 bolas. Logo,
P(2ª vermelhamid 1ª preta) =37 ªª

Passo 4

(c) Queremos P(2ª vermelha)ª. Pelas situações “1ª vermelha” ou “1ª preta”,
P(2ª vermelha) =P(1ª vermelha),P(2ª vermelhamid 1ª vermelha) +P(1ª preta),P(2ª vermelhamid 1ª preta) ªªªªªªª
Como P(1ª vermelha)=3/8ª e P(1ª preta)=5/8ª, obtemos
P(2ª vermelha) =38cdot27+58cdot37 =6+1556 =2156 =38 ª

Passo 5

(d) Queremos
P(1ª vermelhamid 2ª vermelha) =P(1ª vermelhacap 2ª vermelha)P(2ª vermelha) ªªªªª
Já temos P(2ª vermelha)=3/8ª e
P(1ª vermelhacap 2ª vermelha) =P(1ª vermelha)P(2ª vermelhamid1ª vermelha) =38cdot27 =656 =328 ªªªªª
Logo,
P(1ª vermelhamid 2ª vermelha) =3/283/8 =328cdot83 =27 ªª

Passo 6

(e) Queremos
Pl(1ª vermelhamid pelo menos 1 vermelha em 2 retiradasr) ª
Se E é o evento “pelo menos uma vermelha”, então E^c é “nenhuma vermelha” (duas pretas), cuja probabilidade é
P(E^c) =P(preta, preta) =58cdot47 =2056 =514
Assim
P(E)=1-P(E^c) =1-514 =914
Como “1ª vermelha” implica em E, temos
P(1ª vermelhacap E) =P(1ª vermelha) =38 =2156 ªª
Logo
P(1ª vermelhamid E) =21/569/14 =2156cdot149 =712 ª

Resposta

(a) tfrac27
(b) tfrac37
(c) tfrac38
(d) tfrac27
(e) tfrac712

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