Exercício 1: As duas integrais abaixo estão escritas em coordenadas cartesianas. Reescreva cada uma delas usando coordenadas polares.
integral0^2 integral0^raiz2 y-y^2 f(x, y) d x d y

Passo 1

O enunciado pede para reescrever
integral0^2 integral0^raiz2y - y^2 f(x,y),dx,dy
em coordenadas polares. Vamos usar x = rcostheta, y = rsintheta e o fator jacobiano r.

Passo 2

Definimos a região
D = (x,y)mid 0<= y<= 2,;0<= x<= raiz2y - y^2
A curva limite x = raiz2y - y^2 satisfaz
x^2 = 2y - y^2 ;Long<=ftrightarrow; x^2 + (y-1)^2 = 1,
ou seja, o círculo de raio 1 centrado em (0,1). A condição x>=0 seleciona a metade direita desse círculo, e 0<= y<=2 garante toda essa metade.

Passo 3

Em coordenadas polares x = rcostheta, y = rsintheta, a equação do círculo torna-se
r^2cos^2theta + (rsintheta - 1)^2 = 1 ;Longrightarrow; r^2 - 2rsintheta = 0 ;Longrightarrow; r = 0 ;ou; r = 2sintheta
A fronteira relevante é r = 2sintheta.

Passo 4

Para cobrir toda a região com x>=0 e y>=0, precisamos de
costheta >= 0, sintheta >= 0 ;Longrightarrow; 0 <= theta <= tfracpi2
E r varia de 0 até 2sintheta.

Passo 5

Aplicando o jacobiano r, a integral em coordenadas polares fica
integral0^pi2 integral0^2sintheta fl(rcostheta,rsinthetar);r,dr,dtheta

Resposta

integral0^2 integral0^raiz2y - y^2 f(x,y),dx,dy = integral0^pi2 integral0^2sintheta fl(rcostheta,rsinthetar);r,dr,dtheta

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