Exercício 2. Encontre a área da região delimitada pelo astroide x(theta)=a cos ^3 theta, y(theta)=a sen^3 theta, com 0 <= theta <= 2 pi e a>0 é uma constante.

Passo 1

O enunciado define a asteroide por
x(theta)=acos^3theta, y(theta)=asin^3theta
com 0<=theta<=2pi e a>0. Vamos usar a fórmula de área de curva parametrizada
A=oint x,dy

Passo 2

Calculamos a derivada de y em relação a theta:
y'(theta)=ddthetal(asin^3thetar) =3asin^2thetacostheta

Passo 3

A área é dada por
A=integral0^2pix(theta),y'(theta),dtheta

Passo 4

Por simetria em quatro quadrantes iguais, basta computar de 0 a pi/2 e multiplicar por 4:
A=4integral0^pi/2x(theta),y'(theta),dtheta

Passo 5

Substituindo x(theta)=acos^3theta e y'(theta)=3asin^2thetacostheta, obtemos
A =4integral0^pi/2acos^3thetacdot3asin^2thetacostheta,dtheta =12a^2integral0^pi/2cos^4theta,sin^2theta,dtheta

Passo 6

Usamos a fórmula
integral0^pi/2sin^mtheta,cos^ntheta,dtheta =tfrac12B!l(tfracm+12,tfracn+12r)
Com m=2, n=4 vem
integral0^pi/2sin^2theta,cos^4theta,dtheta =tfrac12Bl(tfrac32,tfrac52r) =pi32

Passo 7

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A=12a^2cdotpi32=3pi a^28

Resposta

A=3pi a^28

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