Exercício 8: Efetue as operações e simplifique:
  1. 1x+2x^2-2 x-6x^2-4
    1-3 x+1 cdot x+37 x-5 cdot x+13

Passo 1

O enunciado pede para efetuar operações e simplificar duas expressões racionais. O conteúdo essencial é manipular frações algébricas, fatorar polinômios nos denominadores para encontrar o mínimo múltiplo comum e depois simplificar fatores comuns. Vamos usar estratégias de fatoração e soma de expressões racionais.

Passo 2

Para o item 1, temos a expressão
1x+2x^2-2x-6x^2-4
Primeiro, fatoramos cada denominador: ,x^2-2x = x(x-2), e ,x^2-4=(x-2)(x+2),. O denominador comum é
x(x-2)(x+2)

Passo 3

Reescrevendo cada fração com esse denominador:
1x = (x-2)(x+2)x(x-2)(x+2), 2x(x-2) = 2(x+2)x(x-2)(x+2), 6(x-2)(x+2) = 6xx(x-2)(x+2)
Somando numeradores e simplificando, obtemos
(x^2-4)+(2x+4)-6xx(x-2)(x+2) = x^2-4xx(x-2)(x+2) = x(x-4)x(x-2)(x+2) = x-4(x-2)(x+2)

Passo 4

Agora, para o item 2, a expressão é
1-3x+1cdotx+37x-5cdotx+13
Primeiro, calculamos o produto de frações:
1cdotx+37x-5cdotx+13 = (x+3)(x+1)3(7x-5)
Então a expressão vira
1-3x+(x+3)(x+1)3(7x-5)

Passo 5

Para somar, colocamos tudo sobre o denominador comum 3(7x-5):
1 = 3(7x-5)3(7x-5), -3x = -9x(7x-5)3(7x-5)
Logo, o numerador fica
3(7x-5)-9x(7x-5)+(x+3)(x+1) = 21x-15-63x^2+45x+(x^2+4x+3) = -62x^2+70x-12,
e a fração completa é
-62x^2+70x-123(7x-5) = -2(31x^2-35x+6)3(7x-5)

Resposta

(1) x-4(x-2)(x+2)
(2) -2(31x^2-35x+6)3(7x-5)

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