Use as regras de derivação para derivar cada função.
f(x)=\frac{1+\operatorname{tg}(x)}{1-\cos x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = 1+tan(x)1-cos(x)
O conteúdo que vamos usar é a regra do quociente e as derivadas
ddxtan(x)=sec^2(x) e ddxcos(x)=-sin(x).

Passo 2

Definimos
u(x) = 1 + tan(x), v(x) = 1 - cos(x)
Então
u'(x) = sec^2(x), v'(x) = sin(x)

Passo 3

Pela regra do quociente,
f'(x) = u'(x),v(x) - u(x),v'(x)[v(x)]^2

Passo 4

Substituindo u, v, u' e v' de Passo 2, obtemos
f'(x) = sec^2(x),(1-cos(x)) ;-; (1+tan(x)),sin(x)(1-cos(x))^2

Passo 5

Para simplificar o numerador, note que
sec^2(x),(1-cos(x)) = sec^2(x)-sec(x)
e
(1+tan(x)),sin(x) = sin(x) + tfracsin^2(x)cos(x).
Mas a forma obtida em Passo 4 já é adequada como resposta final.

Resposta

f'(x) = sec^2(x),(1-cos(x)) ;-; (1+tan(x)),sin(x)(1-cos(x))^2

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