Exercício 6: Uma empresa está planejando diminuir o tempo de entrega de um produto que comercializa. Para tal, fez um levantamento das últimas 50 entregas obtendo a informação sobre o número de dias que o produto levou para ser entregue. Os dados, já ordenados, são apresentados a seguir: 1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3, 3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,6,7,7,8 e 15.
a) Calcule média, moda e mediana.
b) Determine o 3^{\circ} quartil.
c) Verifique se há outliers e esboce um Boxplot.

Passo 1

O enunciado dá uma amostra ordenada de n=50 tempos de entrega (em dias) e pede:
a) média, moda e mediana;
b) terceiro quartil Q_{3};
c) identificação de outliers e esboço de boxplot.
Para isso precisamos contar as frequências de cada valor, calcular soma e posições dos dados.

Passo 2

Contagem por valor (total 50): 1 aparece 3 vezes, 2 aparece 11 vezes, 3 aparece 16 vezes, 4 aparece 9 vezes, 5 aparece 6 vezes, 6 aparece 1 vez, 7 aparece 2 vezes, 8 aparece 1 vez, 15 aparece 1 vez.
Soma dos valores:
3\cdot1 + 11\cdot2 + 16\cdot3 + 9\cdot4 + 6\cdot5 + 1\cdot6 + 2\cdot7 + 1\cdot8 + 1\cdot15 =182.
Logo a média é
\bar x = \frac{182}{50} = 3{,}64.

Passo 3

Moda é o valor de maior frequência, aqui 3 (freqüência 16).
Para a mediana, como n é par, tomamos a média dos 25.º e 26.º valores.
As posições 1–3 são “1”, 4–14 são “2”, 15–30 são “3”, etc. Logo as posições 25 e 26 estão em “3”.
Portanto
\text{mediana} = 3.

Passo 4

Para Q_{3} (terceiro quartil) usamos a mediana da metade superior ou a posição 0{,}75\,(n+1)=38{,}25.
Tanto faz, as observações 31–39 valem “4”. Assim
Q_{3} = 4.

Passo 5

Calculamos Q_{1} similarmente na metade inferior: posição \tfrac{1}{4}(n+1)=12{,}75, que cai em “2”. Logo Q_{1}=2.
A amplitude interquartílica é
\mathrm{IQR} = Q_{3}-Q_{1} = 4-2 = 2.
Limites para outliers:
\text{limite inferior} = Q_{1} - 1{,}5\,\mathrm{IQR} = 2 - 3 = -1, \quad \text{limite superior} = Q_{3} + 1{,}5\,\mathrm{IQR} = 4 + 3 = 7.
Valores fora de [-1,7] são outliers: aqui são 8 e 15.
O boxplot tem caixa de 2 a 4 com mediana em 3, “bigodes” de 1 (mínimo não outlier) até 7 (máximo não outlier) e pontos isolados em 8 e 15.

Resposta

a) \bar x = 3{,}64; moda =3; mediana =3.
b) Q_{3}=4.
c) Outliers: 8 e 15. Boxplot: caixa de Q_{1}=2 a Q_{3}=4, mediana 3, bigodes de 1 a 7, pontos isolados em 8,15.

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