Exercício 3 - Uma entrada e duas saídas
Um conduto tem entrada de diâmetro 0,12 \mathrm{~m} e velocidade 2,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Na saída 1 , de diâmetro 0,08 \mathrm{~m}, a velocidade é 3,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Na saída 2 , a velocidade é 2,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e o diâmetro é desconhecido. Determine o diâmetro da saída 2.

Passo 1

O enunciado trata de um escoamento incompressível em um conduto com uma entrada e duas saídas. Para resolver, vamos usar a equação da continuidade para vazões volumétricas:
A vazão em cada seção é
Q = A \, V
onde A é a área da seção transversal e V a velocidade média. Como a área de um círculo é
A = \frac{\pi}{4}D^2,
temos
Q = \frac{\pi}{4}D^2\,V.
Em regime permanente, a vazão de entrada se divide nas duas saídas:
Q_{\text{in}} = Q_{1} + Q_{2}.

Passo 2

Calcular a vazão de entrada Q_{\text{in}}. O diâmetro é D_{\text{in}}=0,12\text{ m} e a velocidade V_{\text{in}}=2,5\text{ m/s}. Logo,
Q_{\text{in}} = \frac{\pi}{4}\,D_{\text{in}}^2\,V_{\text{in}} = \frac{\pi}{4}\,(0,12)^2\,(2,5).
Note que (0,12)^2 = 0,0144 e 0,0144\times2,5=0,036. Assim,
Q_{\text{in}} = \frac{\pi}{4}\times0,036 = 0,009\pi\\ \text{m}^3\!/\text{s}.

Passo 3

Calcular a vazão da saída 1, Q_{1}. O diâmetro é D_{1}=0,08\text{ m} e a velocidade V_{1}=3{,}0\text{ m/s}. Então,
Q_{1} = \frac{\pi}{4}\,D_{1}^2\,V_{1} = \frac{\pi}{4}\,(0,08)^2\,(3,0).
Como (0,08)^2=0,0064 e 0,0064\times3{,}0=0,0192, resulta
Q_{1} = \frac{\pi}{4}\times0,0192 = 0,0048\pi\\ \text{m}^3\!/\text{s}.

Passo 4

Determinar a vazão na saída 2, Q_{2}, pela continuidade:
Q_{2} = Q_{\text{in}} - Q_{1} = 0,009\pi - 0,0048\pi = 0,0042\pi\\ \text{m}^3\!/\text{s}.

Passo 5

Expressar Q_{2} em função do diâmetro D_{2} e resolver:
Q_{2} = \frac{\pi}{4}\,D_{2}^2\,V_{2},
onde V_{2}=2,0\text{ m/s}. Assim,
0,0042\pi = \frac{\pi}{4}\,D_{2}^2\,(2,0).
Isolando D_{2}^2:
D_{2}^2 = \frac{4\,(0,0042\pi)}{\pi\,(2,0)} = 0,0084.
Logo
D_{2} = \sqrt{0,0084}\approx0,09165\text{ m}\approx0,092\text{ m}.

Resposta

O diâmetro da saída 2 é aproximadamente 0,092\text{ m}.

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