Exercício 2. Encontrar a solução geral de cada uma das seguintes equações diferenciais:
s u^{\prime}+2 u=s^{2}-s+1, onde u=u(s).
s u^{\prime}+2 u=s^{2}-s+1, onde u=u(s).
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de primeira ordem linear em
:
com
. Vamos usar o método do fator integrante para resolver equações da forma
Passo 2
Dividindo ambos os lados por
para obter a forma padrão, temos
Passo 3
O fator integrante
satisfaz
(considerando
para simplificar o valor absoluto).
Passo 4
Multiplicando a equação padrão por
, obtemos
O lado esquerdo é exatamente a derivada de
, pois
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Isolando
, dividimos por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
onde
é constante arbitrária.