Exercício 2. Encontrar a solução geral de cada uma das seguintes equações diferenciais:
s u^{\prime}+2 u=s^{2}-s+1, onde u=u(s).

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de primeira ordem linear em u(s):
s\,u'(s)+2\,u(s)=s^2 - s + 1,
com s\neq0. Vamos usar o método do fator integrante para resolver equações da forma
u'+p(s)\,u=q(s).

Passo 2

Dividindo ambos os lados por s para obter a forma padrão, temos
u'(s)+\frac{2}{s}\,u(s)=s - 1 + \frac{1}{s}.

Passo 3

O fator integrante \mu(s) satisfaz
\mu(s)=\exp\Bigl(\int \frac{2}{s}\,ds\Bigr) =\exp\bigl(2\ln|s|\bigr) =s^2,
(considerando s>0 para simplificar o valor absoluto).

Passo 4

Multiplicando a equação padrão por \mu(s)=s^2, obtemos
s^2\,u'(s)+2s\,u(s) = s^2\bigl(s-1+\tfrac{1}{s}\bigr) = s^3 - s^2 + s.
O lado esquerdo é exatamente a derivada de \,s^2\,u(s), pois
\frac{d}{ds}\bigl(s^2\,u(s)\bigr) =2s\,u(s)+s^2\,u'(s).

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a s:
\int \frac{d}{ds}\bigl(s^2\,u(s)\bigr)\,ds =\int \bigl(s^3 - s^2 + s\bigr)\,ds
s^2\,u(s) =\frac{s^4}{4}-\frac{s^3}{3}+\frac{s^2}{2}+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Isolando u(s), dividimos por s^2:
u(s) =\frac{1}{s^2}\Bigl(\frac{s^4}{4}-\frac{s^3}{3}+\frac{s^2}{2}+C\Bigr) =\frac{s^2}{4}-\frac{s}{3}+\frac{1}{2}+\frac{C}{s^2}.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
u(s)=\frac{s^2}{4}-\frac{s}{3}+\frac{1}{2}+\frac{C}{s^2},
onde C é constante arbitrária.

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