Exercício 2. Encontrar a solução geral de cada uma das seguintes equações diferenciais:
x^{\prime}+x=5 \sin (2 t), onde x=x(t);

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de primeira ordem
x'(t) + x(t) = 5\sin(2t),
ou seja, precisamos encontrar a solução homogênea de x'+x=0 e uma solução particular de x'+x=5\sin(2t), usando o método dos coeficientes indeterminados.

Passo 2

A equação homogênea associada é
x'(t) + x(t) = 0.
Esse é um EDO separável cujo resultado é
x_h(t) = Ce^{-t},
onde C é uma constante arbitrária.

Passo 3

Para achar uma solução particular x_p(t) da forma de um senóide, suponho
x_p(t) = A\cos(2t) + B\sin(2t),
com A e B constantes a determinar.

Passo 4

Calculo x_p'(t) e substituo em x'+x=5\sin(2t):
x_p'(t) = -2A\sin(2t) + 2B\cos(2t),
logo
x_p'(t) + x_p(t) = (-2A\sin(2t)+2B\cos(2t)) + (A\cos(2t)+B\sin(2t))
= (2B + A)\cos(2t) + (B - 2A)\sin(2t)
deve ser igual a 5\sin(2t). Igualando coeficientes:
2B + A = 0,
B - 2A = 5.

Passo 5

Resolvo o sistema
\begin{cases} A + 2B = 0,\\\\ -2A + B = 5 \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad A = -2,\; B = 1.
Portanto
x_p(t) = -2\cos(2t) + \sin(2t).
A solução geral é a soma de homogênea e particular:

Resposta

x(t) = Ce^{-t} - 2\cos(2t) + \sin(2t).

Exercícios relacionados