Exercício 2. Encontrar a solução geral de cada uma das seguintes equações diferenciais:
x^{\prime}+x=5 \sin (2 t), onde x=x(t);
x^{\prime}+x=5 \sin (2 t), onde x=x(t);
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de primeira ordem
ou seja, precisamos encontrar a solução homogênea de
e uma solução particular de
, usando o método dos coeficientes indeterminados.
Passo 2
A equação homogênea associada é
Esse é um EDO separável cujo resultado é
onde
é uma constante arbitrária.
Passo 3
Para achar uma solução particular
da forma de um senóide, suponho
com
e
constantes a determinar.
Passo 4
Calculo
e substituo em
:
logo
deve ser igual a
. Igualando coeficientes:
Passo 5
Resolvo o sistema
Portanto
A solução geral é a soma de homogênea e particular: