Resolver os seguintes problemas de valor inicial (PVI):
y^{\prime \prime}=-\frac{t}{3}+3, sujeita a y^{\prime}(1)=1 e y(1)=2.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI
y''(t) = -\frac{t}{3} + 3,
com as condições iniciais \;y'(1)=1 e \;y(1)=2.
O método é integrar duas vezes a equação diferencial e usar as condições para determinar as constantes de integração.

Passo 2

Integramos a segunda derivada para obter a primeira derivada.
y'(t) \;=\;\int\Bigl(-\tfrac{t}{3}+3\Bigr)\,dt \;=\;-\frac{t^2}{6}+3t+C_{1}.

Passo 3

Usamos a condição y'(1)=1 para encontrar C_{1}.
1 = -\frac{1^2}{6} + 3\cdot1 + C_{1} = -\frac{1}{6} + 3 + C_{1} = \frac{17}{6} + C_{1} \;\Longrightarrow\; C_{1} = 1 - \frac{17}{6} = -\frac{11}{6}.
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y'(t) = -\frac{t^2}{6} + 3t - \frac{11}{6}.

Passo 4

Integramos y'(t) para obter y(t).
y(t) \;=\;\int\Bigl(-\frac{t^2}{6} + 3t - \frac{11}{6}\Bigr)\,dt \;=\; -\frac{t^3}{18} + \frac{3}{2}\,t^2 - \frac{11}{6}\,t + C_{2}.

Passo 5

Usamos a condição y(1)=2 para determinar C_{2}.
2 = -\frac{1^3}{18} + \frac{3}{2}\cdot1^2 - \frac{11}{6}\cdot1 + C_{2} = -\frac{1}{18} + \frac{3}{2} - \frac{11}{6} + C_{2}.
Calculando -\tfrac{1}{18} + \tfrac{3}{2} - \tfrac{11}{6} = -\tfrac{7}{18}, vem
2 = -\frac{7}{18} + C_{2} \;\Longrightarrow\; C_{2} = 2 + \frac{7}{18} = \frac{43}{18}.

Resposta

A solução do PVI é
\boxed{y(t) = -\frac{t^3}{18} + \frac{3}{2}\,t^2 - \frac{11}{6}\,t + \frac{43}{18}.}

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