Utilize a regra da cadeia para determinar d zd t, em que
z=sen(x y), x=3 t e y=t^2.

Passo 1

Vamos resolver o exercício onde precisamos encontrar dzdt usando a regra da cadeia. Aqui, temos as funções:
  • z = sin(x y)
  • x = 3 t
  • y = t^2
Vamos precisar conhecer a regra da cadeia para derivadas e como aplicar derivadas de funções compostas.

Passo 2

Primeiro, identificamos que z é uma função de x e y, e tanto x quanto y são funções de t. Portanto, para encontrar dzdt, usaremos a regra da cadeia para funções de múltiplas variáveis.

Passo 3

A regra da cadeia para derivadas parciais nos diz que:
dzdt = partial zpartial x cdot dxdt + partial zpartial y cdot dydt
Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais.

Passo 4

Calculando partial zpartial x:
z = sin(x y) Rightarrow partial zpartial x = cos(x y) cdot y

Passo 5

Calculando partial zpartial y:
z = sin(x y) Rightarrow partial zpartial y = cos(x y) cdot x

Passo 6

Agora, calculamos dxdt e dydt:
dxdt = ddt(3 t) = 3
dydt = ddt(t^2) = 2 t

Passo 7

Substituindo todas as derivadas na fórmula da regra da cadeia:
dzdt = cos(x y) cdot y cdot 3 + cos(x y) cdot x cdot 2 t

Passo 8

Sabemos que x = 3 t e y = t^2, então substituímos esses valores:
dzdt = cos(3 t cdot t^2) cdot t^2 cdot 3 + cos(3 t cdot t^2) cdot 3 t cdot 2 t
Simplificando:
dzdt = 3 t^2 cos(3 t^3) + 6 t^2 cos(3 t^3)

Passo 9

Somando os termos semelhantes:
dzdt = (3 t^2 + 6 t^2) cos(3 t^3) = 9 t^2 cos(3 t^3)

Resposta

Portanto, a derivada dzdt é:
dzdt = 9 t^2 cos(3 t^3)

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