Exercício 1. Encontre as antiderivadas das seguintes funções:
f(x)=cos ^3(5 x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar as antiderivadas da função f(x) = cos^3(5x) . Isso está ligado ao cálculo de integrais, especificamente usando técnicas de integração para funções trigonométricas elevadas a potências. Vamos precisar usar substituição trigonométrica e identidades trigonométricas para simplificar a expressão antes de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que cos^3(5x) pode ser reescrito usando uma identidade trigonométrica. Sabemos que:
cos^3 theta = cos theta cdot (1 - sin^2 theta)
Aplicando isso na nossa função:
cos^3(5x) = cos(5x) cdot (1 - sin^2(5x))

Passo 3

Agora, vamos usar substituição para facilitar a integração. Vamos definir:
u = sin(5x)
Então, derivando u em relação a x:
dudx = 5 cos(5x) Rightarrow du = 5 cos(5x) dx Rightarrow cos(5x) dx = du5

Passo 4

Substituindo u na integral, temos:
integral cos^3(5x) dx = integral cos(5x) (1 - sin^2(5x)) dx = integral (1 - u^2) cdot du5
Simplificando:
15 integral (1 - u^2) du

Passo 5

Agora, vamos integrar termo a termo:
15 ( integral 1 , du - integral u^2 , du ) = 15 ( u - u^33 ) + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Por fim, voltamos para a variável original x substituindo u = sin(5x):
15 ( sin(5x) - sin^3(5x)3 ) + C

Resposta

A antiderivada de f(x) = cos^3(5x) é:
15 sin(5x) - 115 sin^3(5x) + C

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