Exercício 1. Encontre as antiderivadas das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar as antiderivadas da função
. Isso está ligado ao cálculo de integrais, especificamente usando técnicas de integração para funções trigonométricas elevadas a potências. Vamos precisar usar substituição trigonométrica e identidades trigonométricas para simplificar a expressão antes de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
pode ser reescrito usando uma identidade trigonométrica. Sabemos que:
Aplicando isso na nossa função:
Passo 3
Agora, vamos usar substituição para facilitar a integração. Vamos definir:
Então, derivando
em relação a
:
Passo 4
Substituindo
na integral, temos:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos integrar termo a termo:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Por fim, voltamos para a variável original
substituindo
:
Resposta
A antiderivada de
é: