Integral por substituição Derive a resposta a fim de conferir o resultado.
integral xraiz2 x^2+3 d x

Passo 1

Neste exercício vamos calcular
I = integral xraiz2x^2+3,dx
pelo método de substituição, e depois derivar a primitiva obtida para conferir que devolve o integrando.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = 2x^2 + 3,
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du = 4x,dx Longrightarrow x,dx = 14,du

Passo 3

Substituindo na integral original obtemos
I = integral x,dxraiz2x^2+3 = integral 14,duraizu = 14 integral u^-1/2,du

Passo 4

Integrando em u,
integral u^-1/2,du = 2u^1/2 + C,
portanto
I = 14 cdot 2u^1/2 + C = 12raizu + C = 12raiz2x^2+3 + C

Passo 5

Para conferir, derivamos a primitiva
F(x) = 12raiz2x^2+3
Aplicando a regra da cadeia,
F'(x) = 12 cdot 12raiz2x^2+3cdot 4x = xraiz2x^2+3,
o que coincide com o integrando.

Resposta

integral xraiz2x^2+3,dx = 12raiz2x^2+3 + C

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