Integral por substituição Derive a resposta a fim de conferir o resultado.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
usando o método de substituição. Aqui o conteúdo é integrar uma função racional da forma , e vamos usar uma mudança de variável que transforme o denominador numa expressão padrão .
Passo 2
Fazemos a substituição
Então o denominador fica
Passo 3
Substituindo em , obtemos
Passo 4
Sabendo que
temos
raiz22 integral dt1 - t^2 = raiz22,arctanh(t) + C
Passo 5
Voltando a t = x/raiz2, a integral vira
integral dx2 - x^2 = raiz22,arctanh!l(xraiz2r) + C = 12raiz2ln!l|raiz2+xraiz2-xr| + C
Passo 6
Para conferir, derivamos
F(x) = 12raiz2ln!l|raiz2+xraiz2-xr|
Usando ddxlnl(tfraca+xa-xr)=tfrac2aa^2-x^2, com a=raiz2, obtemos
F'(x) = 12raiz2cdot2raiz22 - x^2 = 12 - x^2,
que é exatamente o integrando original. Assim a nossa primitiva está correta.
Resposta
integral dx2 - x^2 = 12raiz2ln!l|raiz2+xraiz2-xr| + C