Integral por substituição Derive a resposta a fim de conferir o resultado.
integral d x2-x^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral dx2 - x^2
usando o método de substituição. Aqui o conteúdo é integrar uma função racional da forma integral dx/(a^2-x^2), e vamos usar uma mudança de variável que transforme o denominador numa expressão padrão 1 - t^2.

Passo 2

Fazemos a substituição
x = raiz2,t, dx = raiz2,dt
Então o denominador fica
2 - x^2 = 2 - (raiz2,t)^2 = 2,(1 - t^2)

Passo 3

Substituindo em integral dx2 - x^2, obtemos
integral dx2 - x^2 = integral raiz2,dt2,(1 - t^2) = raiz22 integral dt1 - t^2

Passo 4

Sabendo que
integral dt1 - t^2 = arctanh(t) + C e arctanh(t) = 12ln!l|1+t1-tr|,
temos
raiz22 integral dt1 - t^2 = raiz22,arctanh(t) + C

Passo 5

Voltando a t = x/raiz2, a integral vira
integral dx2 - x^2 = raiz22,arctanh!l(xraiz2r) + C = 12raiz2ln!l|raiz2+xraiz2-xr| + C

Passo 6

Para conferir, derivamos
F(x) = 12raiz2ln!l|raiz2+xraiz2-xr|
Usando ddxlnl(tfraca+xa-xr)=tfrac2aa^2-x^2, com a=raiz2, obtemos
F'(x) = 12raiz2cdot2raiz22 - x^2 = 12 - x^2,
que é exatamente o integrando original. Assim a nossa primitiva está correta.

Resposta

integral dx2 - x^2 = 12raiz2ln!l|raiz2+xraiz2-xr| + C

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