Obter a integral indefinida (primitiva) Derive a resposta a fim de conferir o resultado.
integral d xraiz2-x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral indefinida: integral dxraiz2 - x^2. A matéria que estamos trabalhando aqui é o cálculo integral, mais especificamente integrais que envolvem radicais. Para resolver isso, vamos precisar usar uma substituição trigonométrica, que é uma técnica para simplificar integrais que têm a forma de uma raiz quadrada de uma expressão quadrática.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a expressão dentro da raiz: 2 - x^2. Para simplificar essa integral, podemos usar a substituição trigonométrica x = raiz2 sin theta. Essa substituição é útil porque, ao substituir x por raiz2 sin theta, a expressão dentro da raiz se torna uma forma que envolve o seno ao quadrado, que sabemos como lidar.

Passo 3

Agora, vamos derivar x em relação a theta para encontrar dx. Se x = raiz2 sin theta, então:
dx = raiz2 cos theta , dtheta
Isso nos ajuda a substituir dx na integral original.

Passo 4

Substituindo x e dx na integral original, temos:
integral dxraiz2 - x^2 = integral raiz2 cos theta , dthetaraiz2 - 2 sin^2 theta
Agora, simplificamos a expressão dentro da raiz:
2 - 2 sin^2 theta = 2(1 - sin^2 theta) = 2 cos^2 theta
Portanto, a integral fica:
integral raiz2 cos theta , dthetaraiz2 cos theta = integral dtheta

Passo 5

Integrando dtheta, obtemos:
theta + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Agora, precisamos voltar da substituição trigonométrica para a variável original x. Lembrando que x = raiz2 sin theta, podemos resolver para theta:
sin theta = xraiz2 Rightarrow theta = arcsin(xraiz2)

Resposta

Portanto, a integral indefinida é:
integral dxraiz2 - x^2 = arcsin(xraiz2) + C

Exercícios relacionados