Obter a integral indefinida (primitiva) Derive a resposta a fim de conferir o resultado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral indefinida:
. A matéria que estamos trabalhando aqui é o cálculo integral, mais especificamente integrais que envolvem radicais. Para resolver isso, vamos precisar usar uma substituição trigonométrica, que é uma técnica para simplificar integrais que têm a forma de uma raiz quadrada de uma expressão quadrática.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a expressão dentro da raiz:
. Para simplificar essa integral, podemos usar a substituição trigonométrica
. Essa substituição é útil porque, ao substituir
por
, a expressão dentro da raiz se torna uma forma que envolve o seno ao quadrado, que sabemos como lidar.
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
para encontrar
. Se
, então:
Isso nos ajuda a substituir
na integral original.
Passo 4
Substituindo
e
na integral original, temos:
Agora, simplificamos a expressão dentro da raiz:
Portanto, a integral fica:
Passo 5
Integrando
, obtemos:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, precisamos voltar da substituição trigonométrica para a variável original
. Lembrando que
, podemos resolver para
:
Resposta
Portanto, a integral indefinida é: