Obter a integral indefinida (primitiva) Derive a resposta a fim de conferir o resultado.
integral d xcos ^2 3 x

Passo 1

O enunciado pede a primitiva de
integral dxcos^2(3x),
ou seja, precisamos encontrar uma função F(x) tal que F'(x)=1/cos^2(3x). Vamos usar substituição e a antiderivada conhecida de sec^2.

Passo 2

Fazendo a substituição
u = 3x,
temos
du = 3,dx Longrightarrow dx = du3
Substituindo na integral, obtemos
integral dxcos^2(3x) = integral sec^2(3x),dx = integral sec^2(u),du3 = 13integral sec^2(u),du

Passo 3

Sabemos que
integral sec^2(u),du = tan(u) + C
Portanto
13integral sec^2(u),du = 13,tan(u) + C

Passo 4

Voltando à variável x por u=3x, a primitiva fica
F(x) = 13,tan(3x) + C

Passo 5

Para conferir, derivamos F(x):
F'(x) = ddxl(tfrac13tan(3x)r) = 13sec^2(3x)cdot 3 = sec^2(3x) = 1cos^2(3x),
que é exatamente o integrando.

Resposta

13tan(3x) + C

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