Exercício 1. Encontre as antiderivadas das seguintes funções:
Passo 1
Beleza! Vamos resolver o exercício onde precisamos encontrar as antiderivadas da função
. Isso faz parte do estudo de Cálculo Integral, especificamente da parte que trata das antiderivadas ou integrais indefinidas. Para resolver isso, vamos precisar conhecer algumas identidades trigonométricas e as técnicas de integração básica.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função
de uma forma que facilite a integração. Sabemos que
, então podemos usar essa identidade para simplificar a expressão.
Passo 3
Aplicando a identidade, temos:
Agora, vamos expandir essa expressão:
Passo 4
Agora, a integral de
se transforma em:
Vamos separar a integral em três partes distintas:
Passo 5
Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.
- Integral de
:
Sabemos que:
Mas isso pode ficar complicado, então usaremos uma identidade trigonométrica para simplificar:
No entanto, isso nos leva de volta à integral original. Então, uma abordagem melhor é usar uma substituição adequada.
Outra maneira mais simples é reconhecer que:
E sabemos que
, então substituímos:
Isso ainda é complicado, então vamos usar uma fórmula padrão:
- Integral de
:
Essa é mais direta:
- Integral de 1:
Simplesmente:
Passo 6
Agora, voltando à nossa expressão original:
Simplificando:
Resposta
A antiderivada de
é:
Onde
é a constante de integração.