Exercício 1. Encontre as antiderivadas das seguintes funções:
g(y)=(tan y)^4

Passo 1

Beleza! Vamos resolver o exercício onde precisamos encontrar as antiderivadas da função g(y) = (tan y)^4 . Isso faz parte do estudo de Cálculo Integral, especificamente da parte que trata das antiderivadas ou integrais indefinidas. Para resolver isso, vamos precisar conhecer algumas identidades trigonométricas e as técnicas de integração básica.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função (tan y)^4 de uma forma que facilite a integração. Sabemos que tan^2 y = sec^2 y - 1 , então podemos usar essa identidade para simplificar a expressão.

Passo 3

Aplicando a identidade, temos:
tan^4 y = (tan^2 y)^2 = (sec^2 y - 1)^2
Agora, vamos expandir essa expressão:
(sec^2 y - 1)^2 = sec^4 y - 2sec^2 y + 1

Passo 4

Agora, a integral de tan^4 y se transforma em:
integral tan^4 y , dy = integral (sec^4 y - 2sec^2 y + 1) , dy
Vamos separar a integral em três partes distintas:
integral sec^4 y , dy - 2integral sec^2 y , dy + integral 1 , dy

Passo 5

Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.
  1. Integral de sec^4 y :
Sabemos que:
integral sec^4 y , dy = tan y sec^2 y - integral tan^2 y sec^2 y , dy
Mas isso pode ficar complicado, então usaremos uma identidade trigonométrica para simplificar:
sec^4 y = tan^4 y + 2tan^2 y + 1
No entanto, isso nos leva de volta à integral original. Então, uma abordagem melhor é usar uma substituição adequada.
Outra maneira mais simples é reconhecer que:
integral sec^4 y , dy = tan y sec^2 y - integral tan^2 y sec^2 y , dy
E sabemos que tan^2 y = sec^2 y - 1 , então substituímos:
integral sec^4 y , dy = tan y sec^2 y - integral (sec^2 y - 1) sec^2 y , dy
Isso ainda é complicado, então vamos usar uma fórmula padrão:
integral sec^4 y , dy = tan^3 y3 + tan y + C
  1. Integral de sec^2 y :
Essa é mais direta:
integral sec^2 y , dy = tan y + C
  1. Integral de 1:
Simplesmente:
integral 1 , dy = y + C

Passo 6

Agora, voltando à nossa expressão original:
integral tan^4 y , dy = ( tan^3 y3 + tan y ) - 2(tan y) + y + C
Simplificando:
integral tan^4 y , dy = tan^3 y3 - tan y + y + C

Resposta

A antiderivada de g(y) = (tan y)^4 é:
integral (tan y)^4 , dy = tan^3 y3 - tan y + y + C
Onde C é a constante de integração.

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