Exercício 3. Esboce a curva dada pelas equações paramétricas x(t)=a t, y(t)=a(1-cos t), com t in[0,2 pi] e a>0, e encontre a área abaixo da curva.

Passo 1

O enunciado nos dá a curva paramétrica
x(t)=a,t, y(t)=al(1-cos tr),
com tin[0,2pi] e a>0. Precisamos (1) esboçar o traçado dessa curva no plano xy e (2) calcular a área sob ela, ou seja, a área entre o arco paramétrico e o eixo x.

Passo 2

Para esboçar a curva, note que:
  1. x(t)=a,t cresce linearmente de x(0)=0 até x(2pi)=2pi a.
  2. y(t)=a(1-cos t) oscila entre 0 e 2a, pois cos t varia de 1 a -1.
  3. Em t=0 e t=2pi temos y=0, e em t=pi temos cospi=-1 logo y(pi)=2a.
    O esboço é um “capuz” (hump) que parte de (0,0), atinge (pi a,2a) e volta a (2pi a,0).

Passo 3

Para calcular a área sob a curva paramétrica usamos a fórmula
A=integralx(0)^x(2pi)y,dx =integralt=0^2piy(t),dxdt,dt

Passo 4

Como dxdt=a, temos
A =integral0^2pial(1-cos tr)cdot a,dt =a^2integral0^2pil(1-cos tr),dt
Calculando o integrando:
integral0^2pi(1-cos t),dt =l[t-sin tr]0^2pi =(2pi-0);=;2pi
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A =a^2cdot2pi =2pi a^2

Resposta

A área sob a curva é 2pi a^2.

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