Exercício 5. Encontre a área superficial obtida ao rotacionar a curva dada pelo eixo x.
x=2 cos t, y=2 sen t, 0 <= t <= pi / 6.

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície gerada ao rotacionar a curva paramétrica
x=2cos t, y=2sin t, 0<= t<= pi6
ao redor do eixo x. O conteúdo é superfície de revolução de curva paramétrica e vamos usar a fórmula
S = integralt0^t1 2pi,y(t),raizl(x'(t)r)^2+l(y'(t)r)^2;dt

Passo 2

Calculamos as derivadas de x(t) e y(t):
x'(t) = -2sin t, y'(t) = 2cos t
Então o elemento de comprimento de arco é
raizl(x'(t)r)^2+l(y'(t)r)^2 = raiz4sin^2 t + 4cos^2 t = 2

Passo 3

Substituímos na fórmula da área:
S = integral0^pi/6 2pi;y(t);l[2r];dt = 4pi integral0^pi/6 y(t);dt = 4pi integral0^pi/6 l(2sin tr);dt

Passo 4

Resolvendo a integral:
4pi integral0^pi/6 2sin t;dt = 8pi l[-cos tr]0^pi/6 = 8pil(-costfracpi6 + cos 0r) = 8pil(-tfracraiz32 + 1r)

Passo 5

Simplificando:
8pil(1-tfracraiz32r) = 8picdottfrac2-raiz32 = 4pi,(2-raiz3)

Resposta

S = 4pi,(2-raiz3)

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