Para os vetores dados abaixo, escreva u como a soma de um vetor paralelo e outro ortogonal a v :
u=8 i+4 j-12 k e v=i+2 j-k

Passo 1

O enunciado pede decompor vec u=8hat i+4hat j-12hat k em duas partes: uma paralela a vec v=hat i+2hat j-hat k e outra ortogonal a vec v. Isso faz parte de decomposição de vetores usando projeção ortogonal.

Passo 2

Para decompor usamos a projeção de vec u sobre vec v:
projv(vec u)=vec ucdotvec vvec vcdotvec v,vec v
A parte paralela será essa projeção, e a ortogonal será vec u-projv(vec u).

Passo 3

Calculando os produtos internos:
vec vcdotvec v=1^2+2^2+(-1)^2=6, vec ucdotvec v=8cdot1+4cdot2+(-12)cdot(-1)=28

Passo 4

Aplicando na fórmula da projeção:
vec uparal<=l=projv(vec u)=286,(hat i+2hat j-hat k)=143hat i+283hat j-143hat k

Passo 5

A parte ortogonal fica:
vec uperp=vec u-vec uparal<=l= l(8-tfrac143r)hat i+l(4-tfrac283r)hat j+l(-12+tfrac143r)hat k=103hat i-163hat j-223hat k

Resposta

A decomposição é:
vec uparal<=l=tfrac143hat i+tfrac283hat j-tfrac143hat k e vec uperp=tfrac103hat i-tfrac163hat j-tfrac223hat k.

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