Exercício 1. Encontre todas as matrizes A da forma (lla & b 0 & c), com a, b e c números reais, tais que A^2=(ll1 & 0 0 & 1).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que encontrar todas as matrizes A da forma
a & b 0 & c
, onde a , b e c são números reais, tais que
A^2 = 1 & 0 0 & 1
. Para isso, vamos precisar usar a álgebra de matrizes, especificamente a multiplicação de matrizes.

Passo 2

Vamos começar calculando A^2 . Para multiplicar a matriz A por ela mesma, fazemos:
A^2 = A times A = a & b 0 & c times a & b 0 & c
Agora, vamos realizar a multiplicação elemento a elemento.

Passo 3

A multiplicação de matrizes é feita multiplicando as linhas da primeira matriz pelas colunas da segunda matriz. Então:
A^2 = a times a + b times 0 & a times b + b times c 0 times a + c times 0 & 0 times b + c times c = a^2 & ab + bc 0 & c^2

Passo 4

Queremos que A^2 seja a matriz identidade, ou seja:
A^2 = 1 & 0 0 & 1
Portanto, devemos igualar os elementos correspondentes:
a^2 = 1 ab + bc = 0 c^2 = 1

Passo 5

Vamos resolver as equações:
  1. a^2 = 1 a = pm 1
  2. c^2 = 1 c = pm 1
  3. ab + bc = 0 b(a + c) = 0

Passo 6

Agora, vamos analisar as possibilidades para a e c :
  1. Se a = 1 e c = 1 , então b(1 + 1) = 0 2b = 0 b = 0
  2. Se a = 1 e c = -1 , então b(1 + (-1)) = 0 0b = 0 b pode ser qualquer número real
  3. Se a = -1 e c = 1 , então b(-1 + 1) = 0 0b = 0 b pode ser qualquer número real
  4. Se a = -1 e c = -1 , então b(-1 + (-1)) = 0 -2b = 0 b = 0

Resposta

As matrizes A que satisfazem A^2 = I são:
A = 1 & 0 0 & 1
A = 1 & b 0 & -1 , para qualquer b in R
A = -1 & b 0 & 1 , para qualquer b in R
A = -1 & 0 0 & -1

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