Exercício 1. Encontre todas as matrizes
da forma
, com
a, b e
c números reais, tais que
A^2=(ll1 & 0 0 & 1) .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que encontrar todas as matrizes
A da forma
, onde
a ,
b e
c são números reais, tais que
. Para isso, vamos precisar usar a álgebra de matrizes, especificamente a multiplicação de matrizes.
Passo 2
Vamos começar calculando
A^2 . Para multiplicar a matriz
A por ela mesma, fazemos:
Agora, vamos realizar a multiplicação elemento a elemento.
Passo 3
A multiplicação de matrizes é feita multiplicando as linhas da primeira matriz pelas colunas da segunda matriz. Então:
Passo 4
Queremos que
A^2 seja a matriz identidade, ou seja:
Portanto, devemos igualar os elementos correspondentes:
Passo 5
Vamos resolver as equações:
-
⟹a^2 = 1 a = pm 1 -
⟹c^2 = 1 c = pm 1 -
⟹ab + bc = 0 b(a + c) = 0
Passo 6
Agora, vamos analisar as possibilidades para
a e
c :
- Se
ea = 1 , entãoc = 1 ⟹b(1 + 1) = 0 ⟹2b = 0 b = 0 - Se
ea = 1 , entãoc = -1 ⟹b(1 + (-1)) = 0 ⟹0b = 0 pode ser qualquer número realb - Se
ea = -1 , entãoc = 1 ⟹b(-1 + 1) = 0 ⟹0b = 0 pode ser qualquer número realb - Se
ea = -1 , entãoc = -1 ⟹b(-1 + (-1)) = 0 ⟹-2b = 0 b = 0
Resposta
As matrizes
A que satisfazem
A^2 = I são: