Exercício 5.3.3. Encontre um conjunto de geradores para os seguintes subespaços vetoriais de \mathcal{M}_{2 \times 2}.
W=\left{\left(\begin{array}{ll}a & b \\ b & c\end{array}\right), a, b, c \in \mathbb{R}\right}
Passo 1
O enunciado pede um conjunto de geradores para
W = \left\{\begin{pmatrix}a & b\\[6pt] b & c\end{pmatrix}\,\middle|\,a,b,c\in\mathbb{R}\right\}
que é um subespaço de \mathcal{M}_{2\times2}. O que precisamos: identificar um elemento genérico de W e escrevê-lo como combinação linear de algumas matrizes fixas.]
Passo 2
Um elemento qualquer de W tem a forma
M=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] b & c\end{pmatrix},
com a,b,c\in\mathbb{R}.]
Passo 3
Note que podemos separar as dependências lineares em a, b e c: