Exercício 5.3.3. Encontre um conjunto de geradores para os seguintes subespaços vetoriais de \mathcal{M}_{2 \times 2}.
W=\left{\left( \begin{array}{ll}a & b \\ b & c\end{array}\right), a, b, c \in \mathbb{R}\right}

Passo 1

O enunciado pede um conjunto de geradores para
W = \left\{\begin{pmatrix}a & b\\[6pt] b & c\end{pmatrix}\,\middle|\,a,b,c\in\mathbb{R}\right\}
que é um subespaço de \mathcal{M}_{2\times2}. O que precisamos: identificar um elemento genérico de W e escrevê-lo como combinação linear de algumas matrizes fixas.]

Passo 2

Um elemento qualquer de W tem a forma
M=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] b & c\end{pmatrix},
com a,b,c\in\mathbb{R}.]

Passo 3

Note que podemos separar as dependências lineares em a, b e c:
\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] b & c\end{pmatrix} = a\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix} + b\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix} + c\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 4

Como qualquer matriz de W sai dessa combinação linear, as três matrizes usadas formam um conjunto de geradores de W.

Resposta

\left\{ \begin{pmatrix}1 & 0\\\ 0 & 0\end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix}0 & 1\\\ 1 & 0\end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix}0 & 0\\\ 0 & 1\end{pmatrix} \right\}.

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