Exercício 5.3.3. Encontre um conjunto de geradores para os seguintes subespaços vetoriais de \mathcal{M}_{2 \times 2}.
W=\left{\left( \begin{array}{cc}0 & -a \\ a & 0\end{array}\right), a \in \mathbb{R}\right}

Passo 1

O enunciado pede um conjunto de geradores para o subespaço
W = \left\{\begin{pmatrix}0 & -a\\[6pt]a & 0\end{pmatrix} : a\in\mathbb{R}\right\}
Esse é um subespaço de \mathcal{M}_{2\times2}. Para resolver, vamos identificar como todo elemento de W se relaciona com um único parâmetro a e, a partir daí, escrever cada matriz como múltiplo de uma matriz fixa.]

Passo 2

Observe que, fixada
M = \begin{pmatrix}0 & -1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix},
qualquer elemento de W tem a forma
\begin{pmatrix}0 & -a\\[4pt]a & 0\end{pmatrix} = a\begin{pmatrix}0 & -1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix} = a\,M.]

Passo 3

Como todo vetor de W é múltiplo escalar de M, concluímos que \{M\} gera W. Em outras palavras,
W = \mathrm{Span}\{M\}.

Resposta

O conjunto de geradores de W é
\left\{\begin{pmatrix}0 & -1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix}\right\}.]

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