Exercício 5.3.3. Encontre um conjunto de geradores para os seguintes subespaços vetoriais de \mathcal{M}_{2 \times 2}.
W=\left{\left( \begin{array}{ll}a & b \\ 0 & c\end{array}\right), a, b, c \in \mathbb{R}\right}

Passo 1

O enunciado pede um conjunto de geradores para o subespaço \mathcal{M}_{2\times2}
W = \left\{\begin{pmatrix}a & b\\[6pt]0 & c\end{pmatrix}\;\Big|\;a,b,c\in\mathbb{R}\right\}.
O conteúdo é espaço vetorial e subespaço, e vamos usar a ideia de que todo elemento de W pode ser escrito como combinação linear de matrizes canônicas.]

Passo 2

Tomemos uma matriz genérica de W:
\begin{pmatrix}a & b\\[4pt]0 & c\end{pmatrix}.
Como a,b,c são reais, podemos repartir essa matriz em três parcelas, cada uma com apenas um parâmetro não nulo:
\begin{pmatrix}a & b\\[4pt]0 & c\end{pmatrix} = a\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix} + b\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix} + c\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 3

Como qualquer elemento de W é uma combinação linear dessas três matrizes, concluímos que
W = \operatorname{span}\biggl\{ \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix} \biggr\}.]

Resposta

Um conjunto de geradores para W é
\left\{ \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix} \right\}.]

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