Exercício 5.2.4. Sejam
subespaço de V. Mostre que
é um subespaço de
.
Passo 1
O enunciado diz que
é um espaço vetorial e
são subespaços de
. Definimos
Queremos mostrar que
é também um subespaço de
. Para isso, vamos usar o critério de subespaço:
-
(geralmente mostrando que contém o vetor zero). - É fechado sob soma de vetores.
- É fechado sob multiplicação escalar.
Passo 2
Mostramos que o vetor zero de
pertence a
. Como
e
são subespaços, sabemos que
e
. Logo
Portanto
não é vazio e contém o zero.
Passo 3
Fechamento sob soma. Tomemos dois vetores arbitrários
Pelo modo de construção, existem
e
tais que
Então
Como
e
são subespaços, têm fechamento em soma, logo
e
. Assim
o que prova o fechamento sob soma.
Passo 4
Fechamento sob multiplicação escalar. Seja
um escalar e
Então
Como
e
são subespaços, são fechados sob multiplicação por escalar, logo
e
. Assim
o que prova o fechamento escalar.
Resposta
Portanto,
satisfaz os três requisitos de subespaço e, consequentemente, é um subespaço de
.