Exercício 5.2.4. Sejam W_{1}, W_{2} subespaço de V. Mostre que
W_{1}+W_{2}=\left\{r+s, r \in W_{1}, s \in W_{2}\right\} é um subespaço de V.

Passo 1

O enunciado diz que V é um espaço vetorial e W_{1},W_{2} são subespaços de V. Definimos
W_{1}+W_{2}=\{\,r+s\mid r\in W_{1},\\ s\in W_{2}\}.
Queremos mostrar que W_{1}+W_{2} é também um subespaço de V. Para isso, vamos usar o critério de subespaço:
  1. W_{1}+W_{2}\neq\varnothing (geralmente mostrando que contém o vetor zero).
  2. É fechado sob soma de vetores.
  3. É fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Mostramos que o vetor zero de V pertence a W_{1}+W_{2}. Como W_{1} e W_{2} são subespaços, sabemos que 0\in W_{1} e 0\in W_{2}. Logo
0 = 0 + 0 \in W_{1}+W_{2}.
Portanto W_{1}+W_{2} não é vazio e contém o zero.

Passo 3

Fechamento sob soma. Tomemos dois vetores arbitrários
u,\,v\in W_{1}+W_{2}.
Pelo modo de construção, existem r_{1},r_{2}\in W_{1} e s_{1},s_{2}\in W_{2} tais que
u = r_{1}+s_{1}, \quad v = r_{2}+s_{2}.
Então
u+v = (r_{1}+s_{1}) + (r_{2}+s_{2}) = (r_{1}+r_{2}) + (s_{1}+s_{2}).
Como W_{1} e W_{2} são subespaços, têm fechamento em soma, logo r_{1}+r_{2}\in W_{1} e s_{1}+s_{2}\in W_{2}. Assim
u+v \in W_{1}+W_{2},
o que prova o fechamento sob soma.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação escalar. Seja \alpha um escalar e
u\in W_{1}+W_{2},\quad u = r+s,\\ r\in W_{1},\\ s\in W_{2}.
Então
\alpha u = \alpha(r+s) = \alpha r + \alpha s.
Como W_{1} e W_{2} são subespaços, são fechados sob multiplicação por escalar, logo \alpha r\in W_{1} e \alpha s\in W_{2}. Assim
\alpha u \in W_{1}+W_{2},
o que prova o fechamento escalar.

Resposta

Portanto, W_{1}+W_{2} satisfaz os três requisitos de subespaço e, consequentemente, é um subespaço de V.

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