Exercício 5.3.7. Verifique se o seguintes conjuntos de vetores são L.I. ou L.D.
\left(\begin{array}{l}0 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}0 \\\\ 1 \\\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}1 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto de vetores em \mathbb{R}^{3}
v_{1} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},\quad v_{2} = \begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix},\quad v_{3} = \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}
e pede para verificar se ele é linearmente independente (L.I.) ou linearmente dependente (L.D.). Para isso, vamos usar a definição de independência linear: o conjunto é L.I. se a única solução da combinação linear
\alpha\,v_{1} + \beta\,v_{2} + \gamma\,v_{3} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}
é \alpha=\beta=\gamma=0; caso contrário, é L.D.

Passo 2

Escrevendo a combinação linear, temos
\alpha \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} + \beta \begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix} + \gamma \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
Isso dá o sistema de equações coordenada a coordenada:
\begin{cases} 0\,\alpha + 0\,\beta + 1\,\gamma = 0,\\\\ 0\,\alpha + 1\,\beta + 0\,\gamma = 0,\\\\ 0\,\alpha + 0\,\beta + 0\,\gamma = 0. \end{cases}
Da primeira equação vem \gamma=0 e da segunda vem \beta=0. A terceira equação é 0=0, que é sempre satisfeita, ou seja, não impõe nenhuma restrição sobre \alpha.

Passo 3

Como \beta=0 e \gamma=0, mas \alpha pode ser qualquer número (por exemplo \alpha=1), existe uma combinação linear não-trivial que zera os vetores:
1\cdot v_{1} + 0\cdot v_{2} + 0\cdot v_{3} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
Isso já basta para concluir que o conjunto é linearmente dependente. Além disso, vale o fato geral: qualquer conjunto que contenha o vetor zero é L.D.

Resposta

O conjunto é linearmente dependente.

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