Exercício 5.2.2. Verifique se os seguintes subconjuntos W dos espaços vetoriais V são subespaços dele.
Considere o sistema (II) \left\{\begin{array}{l}x+2 y+3 z=1 \\\ x+3 y+4 z=0\end{array}\right. Seja W=\left\{\left(\begin{array}{l}x \\\ y \\\ z\end{array}\right)\right., que satisfazem o sistema (II) \}, onde V=\mathbb{R}^{3}.

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial V=\mathbb{R}^3 e o subconjunto
W=\left\{\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^3 \;\Big|\;x+2y+3z=1,\;x+3y+4z=0\right\}.
Queremos ver se W é um subespaço de V. Para isso, basta checar se W é não-vazio e fechado sob combinações lineares — em especial, verificar se o vetor zero pertence a W.

Passo 2

O vetor zero em \mathbb{R}^3 é \mathbf{0}=(0,0,0). Substituindo nas equações de W:
0 + 2\cdot 0 + 3\cdot 0 = 0 \neq 1,
logo \mathbf{0}\notin W.

Resposta

W não é subespaço de \mathbb{R}^3.

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