Exercício 5.2.2. Verifique se os seguintes subconjuntos W dos espaços vetoriais V são subespaços dele.
Considere o sistema (II) \left\{\begin{array}{l}x+2 y+3 z=1 \\\ x+3 y+4 z=0\end{array}\right. Seja W=\left\{\left(\begin{array}{l}x \\\ y \\\ z\end{array}\right)\right., que satisfazem o sistema (II) \}, onde V=\mathbb{R}^{3}.
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial V=\mathbb{R}^3 e o subconjunto
Queremos ver se W é um subespaço de V. Para isso, basta checar se W é não-vazio e fechado sob combinações lineares — em especial, verificar se o vetor zero pertence a W.
Passo 2
O vetor zero em \mathbb{R}^3 é \mathbf{0}=(0,0,0). Substituindo nas equações de W: