Exercício 7. Encontre as coordenadas cartesianas do ponto dado em coordenadas esféricas.
(2, \pi / 2, \pi / 2);

Passo 1

O enunciado pede para converter de coordenadas esféricas para coordenadas cartesianas o ponto dado por (\rho,\theta,\varphi) = \bigl(2,\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\bigr). O conteúdo aqui é usar as fórmulas de transformação entre sistemas de coordenadas esféricas e cartesianas.

Passo 2

Em coordenadas esféricas, usam-se as seguintes relações (convenção: \theta azimute no plano xy a partir de x>0, e \varphi ângulo polar a partir de eixo\\ z positivo):
x = \rho \,\sin(\varphi)\,\cos(\theta),
y = \rho \,\sin(\varphi)\,\sin(\theta),
z = \rho \,\cos(\varphi).

Passo 3

Agora substituímos \rho=2, \theta=\tfrac{\pi}{2} e \varphi=\tfrac{\pi}{2}. Primeiro note que \sin\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=1 e \cos\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=0.

Passo 4

Calculemos cada coordenada:
x = 2 \cdot 1 \cdot \cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) = 2 \cdot 0 = 0,
y = 2 \cdot 1 \cdot \sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) = 2 \cdot 1 = 2,
z = 2 \cdot 0 = 0.

Resposta

O ponto em coordenadas cartesianas é (0,2,0).

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