Procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dado x_{0}; encontre a relação de recorrência.
(b) Encontre os quatro primeiros termos em cada uma das duas soluções y_{1} e y_{2} (a menos que a série termine antes).
(c) Calculando o wronskiano W\left(y_{1}, y_{2}\right)\left(x_{0}\right), mostre que y_{1} e y_{2} formam um conjunto fundamental de soluções.
(d) Se possível, encontre o termo geral em cada solução. 2 y^{\prime \prime}+(x+1) y^{\prime}+3 y=0, \quad x_{0}=2
Passo 1
Estamos buscando soluções em série de potências da equação
2y''+(x+1)y'+3y=0
em torno de x_{0}=2. Como x_{0} é ponto ordinário, mudamos de variável para
t=x-2
e procuramos
y(t)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}\,t^{n}.
Vamos (a) obter a relação de recorrência para os coeficientes a_{n}, (b) achar os quatro primeiros termos de duas soluções lineares independentes escolhendo condições iniciais em t=0, (c) calcular o Wronskiano em t=0 e (d) exibir o termo geral via a recorrência.