Procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dado x_{0}; encontre a relação de recorrência.
(b) Encontre os quatro primeiros termos em cada uma das duas soluções y_{1} e y_{2} (a menos que a série termine antes).
(c) Calculando o wronskiano W\left(y_{1}, y_{2}\right)\left(x_{0}\right), mostre que y_{1} e y_{2} formam um conjunto fundamental de soluções.
(d) Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
2 y^{\prime \prime}+(x+1) y^{\prime}+3 y=0, \quad x_{0}=2

Passo 1

Estamos buscando soluções em série de potências da equação
2y''+(x+1)y'+3y=0
em torno de x_{0}=2. Como x_{0} é ponto ordinário, mudamos de variável para
t=x-2
e procuramos
y(t)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}\,t^{n}.
Vamos (a) obter a relação de recorrência para os coeficientes a_{n}, (b) achar os quatro primeiros termos de duas soluções lineares independentes escolhendo condições iniciais em t=0, (c) calcular o Wronskiano em t=0 e (d) exibir o termo geral via a recorrência.

Passo 2

Computamos as derivadas em série:
y'=\sum_{n=1}^\infty n\,a_{n}\,t^{n-1}, \quad y''=\sum_{n=2}^\infty n(n-1)\,a_{n}\,t^{n-2}.
Em x-variável temos x+1=(t+2)+1=t+3. Substituindo em
2y''+(t+3)y'+3y=0
e reorganizando para potências de t^{n}, obtemos, para todo n\ge0,
2(n+2)(n+1)a_{n+2}+\bigl[n\,a_{n}+3(n+1)a_{n+1}+3\,a_{n}\bigr]=0.
Isto é,
\boxed{a_{n+2}=-\frac{(n+3)\,a_{n}+3(n+1)\,a_{n+1}}{2(n+2)(n+1)}.}

Passo 3

Para gerar duas soluções independentes, escolhemos condições em t=0:
  1. y_{1}: a_{0}=1,\;a_{1}=0.
    Aplicando a recorrência:
a_{2}=-\frac{3\cdot1+3\cdot0}{2\cdot2\cdot1}=-\frac{3}{4}, \quad a_{3}=-\frac{4\cdot0+6\cdot(-\tfrac34)}{2\cdot3\cdot2}=\frac{3}{8}.
Logo os quatro primeiros termos (até t^3) são
y_{1}(t)=1 \;-\;\tfrac34\,t^{2}\;+\;\tfrac38\,t^{3}+\cdots.
  1. y_{2}: a_{0}=0,\;a_{1}=1.
    Da recorrência:
a_{2}=-\frac{3\cdot0+3\cdot1}{4}=-\frac{3}{4}, \quad a_{3}=-\frac{4\cdot1+6\cdot(-\tfrac34)}{12}=\frac{1}{24}.
Os quatro primeiros termos são
y_{2}(t)=t \;-\;\tfrac34\,t^{2}\;+\;\tfrac{1}{24}\,t^{3}+\cdots.

Passo 4

O Wronskiano em t=0 é
W(y_{1},y_{2})(0) =\begin{vmatrix} y_{1}(0)&y_{2}(0)\\[6pt] y'_{1}(0)&y'_{2}(0) \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} 1&0\\[3pt] 0&1 \end{vmatrix}=1\neq0,
logo y_{1} e y_{2} são fundamentalmente independentes.]

Passo 5

O termo geral da série fica dado pela recorrência obtida no passo 2, ou seja
\boxed{a_{n+2}=-\frac{(n+3)\,a_{n}+3(n+1)\,a_{n+1}}{2(n+2)(n+1)}, \quad n\ge0.}

Resposta

(a) Relação de recorrência:
a_{n+2}=-\frac{(n+3)\,a_{n}+3(n+1)\,a_{n+1}}{2(n+2)(n+1)}.
(b) Quatro primeiros termos:
y_{1}(t)=1-\tfrac34\,t^{2}+\tfrac38\,t^{3}+\cdots, \quad y_{2}(t)=t-\tfrac34\,t^{2}+\tfrac{1}{24}\,t^{3}+\cdots.
(c) W(y_{1},y_{2})(0)=1\neq0, logo são independentes.
(d) O termo geral é o dado pela própria recorrência do item (a).

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