Exercício 7.4.5. Encontre o cosseno do ângulo que os eixos de simetria das seguintes cônicas fazem com os eixos x y.
x^2-5 x y+13 y^2+7 x-31 y-37=0

Passo 1

O enunciado dá a cônica
x^2-5xy+13y^2+7x-31y-37=0
e pede o cosseno do ângulo phi que cada um dos eixos de simetria (isto é, dos eixos principais da elipse) faz com o eixo x. Para isso, vamos usar a rotação que elimina o termo em xy.

Passo 2

Na forma geral
Ax^2+Bxy+Cy^2+dots=0,
o ângulo phi de rotação satisfaz
tan(2phi)=BA-C

Passo 3

Aqui A=1, B=-5 e C=13. Logo
tan(2phi)=-51-13=-5-12=512

Passo 4

Calculamos primeiro cos(2phi). Como
cos(2phi)=1-tan^2(2phi)1+tan^2(2phi) e tan^2(2phi)=25144,
vem
cos(2phi) =1-tfrac251441+tfrac25144 =tfrac119144tfrac169144 =119169

Passo 5

Para obter cosphi e sinphi usamos as fórmulas de meia-ângulo:
cosphi =raiz1+cos(2phi)2 =raiz1+tfrac1191692 =raiztfrac2881692 =1213,
sinphi =raiz1-cos(2phi)2 =raiz1-tfrac1191692 =raiztfrac501692 =513
Como phi está entre 0 e tfracpi2, tomamos os sinais positivos.

Passo 6

Os dois eixos de simetria fazem ângulos phi e phi+tfracpi2 com o eixo x. Seus cossenos são, respectivamente,
cosphi=1213, cosl(phi+tfracpi2r)=cosphicostfracpi2-sinphisintfracpi2 =-sinphi=-513

Resposta

Os cossenos dos ângulos que os eixos de simetria fazem com o eixo x são
1213 e -513

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