Exercício 7.4.5. Encontre o cosseno do ângulo que os eixos de simetria das seguintes cônicas fazem com os eixos
.
Passo 1
O enunciado dá a cônica
e pede o cosseno do ângulo
que cada um dos eixos de simetria (isto é, dos eixos principais da elipse) faz com o eixo
. Para isso, vamos usar a rotação que elimina o termo em
.
Passo 2
Na forma geral
o ângulo
de rotação satisfaz
Passo 3
Aqui
,
e
. Logo
Passo 4
Calculamos primeiro
. Como
vem
Passo 5
Para obter
e
usamos as fórmulas de meia-ângulo:
Como
está entre
e
, tomamos os sinais positivos.
Passo 6
Os dois eixos de simetria fazem ângulos
e
com o eixo
. Seus cossenos são, respectivamente,
Resposta
Os cossenos dos ângulos que os eixos de simetria fazem com o eixo
são