Seja u, v, w um conjunto L.I de vetores em um espaço vetorial V. Mostre que o conjunto u+v-3 w, u+3 v-w, u+w é L.D.

Passo 1

O enunciado diz que u,v,w é L.I. em V e pede para mostrar que
,u+v-3w,;u+3v-w,;u+w
é L.D.
Para isso, vamos montar uma combinação linear
alpha,(u+v-3w);+;beta,(u+3v-w);+;gamma,(u+w);=;0
e ver se existe solução não trivial.

Passo 2

Escrevendo cada vetor em função de u,v,w, temos
alpha(u+v-3w)+beta(u+3v-w)+gamma(u+w) =(alpha+beta+gamma),u+(alpha+3beta),v+(-3alpha-beta+gamma),w
Como u,v,w são L.I., os coeficientes devem zerar:
alpha+beta+gamma = 0, alpha+3beta = 0, -3alpha-beta+gamma = 0

Passo 3

Resolvendo o sistema: da segunda equação vem alpha=-3beta. Substituindo na primeira:
-3beta+beta+gamma=0;Longrightarrow;gamma=2beta
Na terceira:
-3(-3beta)-beta+(2beta)=9beta-beta+2beta=10beta=0 ;Longrightarrow;beta=0
Logo beta=0 implica alpha=0 e gamma=0.

Passo 4

A única solução da combinação linear é a trivial alpha=beta=gamma=0. Portanto
,u+v-3w,;u+3v-w,;u+w
é L.I., e não L.D.

Resposta

O conjunto é, na verdade, linearmente independente; a afirmação de que ele seria L.D. é falsa.

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