Exercício 7.4.5. Encontre o cosseno do ângulo que os eixos de simetria das seguintes cônicas fazem com os eixos
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os eixos de simetria (ou seja, as direções principais) da cônica
e, em particular, o cosseno do ângulo que esses eixos fazem com os eixos
e
.
Conteúdo usado: centro da cônica, diagonalização da forma quadrática via rotação (autovalores e autovetores ou fórmula ).
Conteúdo usado: centro da cônica, diagonalização da forma quadrática via rotação (autovalores e autovetores ou fórmula
Passo 2
Primeiro determinamos o centro da cônica, resolvendo
Isso dá o sistema
Dividindo a primeira por
e a segunda por
temos
Da primeira
. Substituindo na segunda:
Logo o centro é
.
Passo 3
Em torno do centro, o termo quadrático é
cuja matriz associada é
Para achar as direções principais resolvemos o autovalor
:
As raízes são
e
.]
Passo 4
Para
, o autovetor satisfaz
um vetor paralelo a
.
Para ,
Para
um vetor paralelo a
.
Passo 5
Normalizando esses vetores para terem módulo
, obtemos as direções dos eixos de simetria:
O vetor
forma um ângulo
com o eixo
tal que
O vetor
forma um ângulo
com o eixo
tal que
Resposta
As cosenas dos ângulos que os eixos de simetria fazem com o eixo
são
Correspondentemente, as cossenas dos ângulos com o eixo
são