Exercício 7.4.5. Encontre o cosseno do ângulo que os eixos de simetria das seguintes cônicas fazem com os eixos x y.
3 x^2+12 x y+8 y^2-24 x-40 y+60=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os eixos de simetria (ou seja, as direções principais) da cônica
3x^2 + 12xy + 8y^2 - 24x - 40y + 60 = 0
e, em particular, o cosseno do ângulo que esses eixos fazem com os eixos x e y.
Conteúdo usado: centro da cônica, diagonalização da forma quadrática via rotação (autovalores e autovetores ou fórmula tan2varphi).

Passo 2

Primeiro determinamos o centro da cônica, resolvendo
partialpartial x(3x^2+12xy+8y^2-24x-40y+60)=0, partialpartial y(cdots)=0
Isso dá o sistema
6x + 12y - 24 = 0, 12x + 16y - 40 = 0
Dividindo a primeira por 6 e a segunda por 4 temos
x + 2y - 4 = 0, 3x + 4y - 10 = 0
Da primeira x=4-2y. Substituindo na segunda:
3(4-2y)+4y-10=0;Longrightarrow;2-2y=0;Longrightarrow;y=1, x=2
Logo o centro é (x0,y0)=(2,1).

Passo 3

Em torno do centro, o termo quadrático é
Q(x,y) = 3x^2+12xy+8y^2,
cuja matriz associada é
A = 3 & 6 [6pt] 6 & 8
Para achar as direções principais resolvemos o autovalor det(A-lambda I)=0:
det!3-lambda&66&8-lambda =(3-lambda)(8-lambda)-36=0 ;Longrightarrow;lambda^2-11lambda-12=0
As raízes são lambda1=12 e lambda2=-1.]

Passo 4

Para lambda1=12, o autovetor satisfaz
(3-12)x + 6y=0;Longrightarrow;-9x+6y=0;Longrightarrow;y=tfrac32x,
um vetor paralelo a (2,3).
Para lambda2=-1,
(3+1)x + 6y=0;Longrightarrow;4x+6y=0;Longrightarrow;y=-tfrac23x,
um vetor paralelo a (3,-2).

Passo 5

Normalizando esses vetores para terem módulo 1, obtemos as direções dos eixos de simetria:
v1 = 1raiz13(2,,3), v2 = 1raiz13(3,,-2)
O vetor v1 forma um ângulo theta1 com o eixo x tal que
costheta1 = 2raiz13, sintheta1 = 3raiz13
O vetor v2 forma um ângulo theta2 com o eixo x tal que
costheta2 = 3raiz13, sintheta2 = -2raiz13

Resposta

As cosenas dos ângulos que os eixos de simetria fazem com o eixo x são
boxedcostheta1=2raiz13, costheta2=3raiz13
Correspondentemente, as cossenas dos ângulos com o eixo y são
boxedcos(ângulo em relação a y) =3raiz13e -2raiz13 âçã

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