Exercício 7.4.5. Encontre o cosseno do ângulo que os eixos de simetria das seguintes cônicas fazem com os eixos
.
Passo 1
O enunciado pede o cosseno do ângulo que cada eixo de simetria da cônica
faz com os eixos coordenados
e
. O conteúdo aqui é a rotação de eixos para eliminar o termo misto
, usando a fórmula de
.
Passo 2
Identificamos os coeficientes do termo quadrático padrão
e lembramos que, para eliminar o termo em
, o ângulo de rotação
satisfaz
Passo 3
Como
, temos
Passo 4
Os eixos principais da cônica ficam, portanto, nas direções
Para cada direção
, o vetor diretor é
.
Passo 5
Calculando os cossenos:
Para :
Para
Para
:
Resposta
Os eixos de simetria estão ao longo das retas
e
, e os cossenos dos ângulos que eles fazem com o eixo
são
Com o eixo
, os ângulos são
em ambos os casos, logo