Exercício 7.4.5. Encontre o cosseno do ângulo que os eixos de simetria das seguintes cônicas fazem com os eixos x y.
2 x^2+3 x y+2 y^2-x-7 y+37=0

Passo 1

O enunciado pede o cosseno do ângulo que cada eixo de simetria da cônica
2x^2+3xy+2y^2-x-7y+37=0
faz com os eixos coordenados x e y. O conteúdo aqui é a rotação de eixos para eliminar o termo misto xy, usando a fórmula de tan2theta.

Passo 2

Identificamos os coeficientes do termo quadrático padrão
A=2, B=3, C=2
e lembramos que, para eliminar o termo em xy, o ângulo de rotação theta satisfaz
tan2theta=BA-C

Passo 3

Como A-C=2-2=0, temos
tan2theta=30Longrightarrow 2theta=pi2Longrightarrow theta=pi4

Passo 4

Os eixos principais da cônica ficam, portanto, nas direções
theta1=pi4, theta2=theta1+pi2=3pi4
Para cada direção theta, o vetor diretor é l(costheta,sinthetar).

Passo 5

Calculando os cossenos:
Para theta1=pi/4:
costheta1=cospi4=raiz22, sintheta1=raiz22
Para theta2=3pi/4:
costheta2=cos3pi4=-raiz22, sintheta2=raiz22

Resposta

Os eixos de simetria estão ao longo das retas y=x e y=-x, e os cossenos dos ângulos que eles fazem com o eixo x são
cospi4=raiz22, cos3pi4=-raiz22
Com o eixo y, os ângulos são pi/4 em ambos os casos, logo
cosl(tfracpi2-tfracpi4r)=cospi4=raiz22

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