Exercício 7.4.5. Encontre o cosseno do ângulo que os eixos de simetria das seguintes cônicas fazem com os eixos
.
Passo 1
O enunciado fornece a cônica
e pede os cossenos dos ângulos que os eixos de simetria (os eixos principais) fazem com os eixos
e
.
Para isso, usamos que a rotação de eixo que elimina o termo misto é dada por um ângulo
tal que
Para isso, usamos que a rotação de eixo que elimina o termo misto
onde, comparando com
, temos
,
,
.
Passo 2
Calculemos primeiro
Passo 3
A partir de
concluímos, num triângulo retângulo de catetos
e
, que
Passo 4
Usando fórmulas de semiengulo,
e, como
é negativo (
),
também é negativo e logo
Passo 5
Os eixos principais são duas retas perpendiculares, de direções dadas por
- eixo
: ângulo com o eixo , vetor diretor
- eixo
: ângulo com o eixo , vetor diretor
Resposta
Eixo
: cosseno do ângulo com o eixo
, com o eixo
.
Eixo : cosseno do ângulo com o eixo
, com o eixo
.
Eixo