Exercício 7.4.5. Encontre o cosseno do ângulo que os eixos de simetria das seguintes cônicas fazem com os eixos x y.
7 x^2-8 x y+y^2+14 x-8 y+16=0

Passo 1

O enunciado fornece a cônica
7x^2-8xy+y^2+14x-8y+16=0
e pede os cossenos dos ângulos que os eixos de simetria (os eixos principais) fazem com os eixos x e y.
Para isso, usamos que a rotação de eixo que elimina o termo misto xy é dada por um ângulo theta tal que
tan(2theta)=BA-C,
onde, comparando com Ax^2+Bxy+Cy^2+cdots=0, temos A=7, B=-8, C=1.

Passo 2

Calculemos primeiro
tan(2theta)=-87-1=-86=-43

Passo 3

A partir de tan(2theta)=-tfrac43 concluímos, num triângulo retângulo de catetos 4 e 3, que
cos(2theta)=35, sin(2theta)=-45

Passo 4

Usando fórmulas de semiengulo,
costheta =raiz1+cos(2theta)2 =raiz1+tfrac352 =raiz4/52 =raiz25 =2raiz5,
e, como 2theta é negativo ( tan2theta<0), theta também é negativo e logo
sintheta=-raiz1-cos(2theta)2 =-raiz1-tfrac352 =-raiz2/52 =-1raiz5

Passo 5

Os eixos principais são duas retas perpendiculares, de direções dadas por
  • eixo 1: ângulo theta com o eixo x, vetor diretor
(costheta,;sintheta) =l(tfrac2raiz5,,-tfrac1raiz5r),
  • eixo 2: ângulo theta+tfracpi2 com o eixo x, vetor diretor
(-sintheta,;costheta) =l(tfrac1raiz5,;tfrac2raiz5r)

Resposta

Eixo 1: cosseno do ângulo com o eixo x = tfrac2raiz5, com o eixo y = -tfrac1raiz5.
Eixo 2: cosseno do ângulo com o eixo x = tfrac1raiz5, com o eixo y = tfrac2raiz5.

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