Exercício 7.4.5. Encontre o cosseno do ângulo que os eixos de simetria das seguintes cônicas fazem com os eixos x y.
x^2+x y+y^2=1

Passo 1

O enunciado dá a cônica
x^2+x,y+y^2=1
e pede o cosseno dos ângulos que os eixos de simetria (ou eixos principais) fazem com os eixos coordenados x e y. Para isso vamos tratar essa cônica como uma forma quadrática em x,y e diagonalizá-la por rotação de eixos.

Passo 2

Escrevemos a forma quadrática em matriz simétrica
onde , (coeficiente de ) e . Para eliminar o termo misto usa-se a fórmula
]

Passo 3

Como A-C=1-1=0, temos
tan(2theta)=10;longrightarrow;2theta=pi2;longrightarrow;theta=pi4
(alternativamente theta=-tfracpi4, pois a rotação de pi/2 gera o outro eixo principal). Ou seja, os eixos estão inclinados de +45^circ e de -45^circ em relação ao eixo x.

Passo 4

Os versores diretores desses eixos são
u1=l(costfracpi4,sintfracpi4r)=l(tfrac1raiz2,tfrac1raiz2r), u2=l(cos(-tfracpi4),sin(-tfracpi4)r)=l(tfrac1raiz2,-tfrac1raiz2r)
Para qualquer versor u=(ux,uy), o cosseno do ângulo que ele faz com o eixo x é ux e com o eixo y é uy.

Passo 5

Aplicando ao u1 e ao u2:
com o eixo x:
costhetax(u1)=tfrac1raiz2, costhetax(u2)=tfrac1raiz2
com o eixo y:
costhetay(u1)=tfrac1raiz2, costhetay(u2)=-tfrac1raiz2

Resposta

Os eixos principais formam ângulos de pm45^circ com o eixo x, de modo que
cosl(45^circr)=raiz22
para ambos os eixos em relação a x.
Em relação ao eixo y, os cossenos são tfracraiz22 para o eixo em +45^circ e -tfracraiz22 para o eixo em -45^circ.

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