Exercício 7.4.5. Encontre o cosseno do ângulo que os eixos de simetria das seguintes cônicas fazem com os eixos
.
Passo 1
O enunciado dá a cônica
e pede o cosseno dos ângulos que os eixos de simetria (ou eixos principais) fazem com os eixos coordenados
e
. Para isso vamos tratar essa cônica como uma forma quadrática em
e diagonalizá-la por rotação de eixos.
Passo 2
Escrevemos a forma quadrática em matriz simétrica
onde
,
(coeficiente de
) e
. Para eliminar o termo misto usa-se a fórmula
Passo 3
Como
, temos
(alternativamente
, pois a rotação de
gera o outro eixo principal). Ou seja, os eixos estão inclinados de
e de
em relação ao eixo
.
Passo 4
Os versores diretores desses eixos são
Para qualquer versor
, o cosseno do ângulo que ele faz com o eixo
é
e com o eixo
é
.
Passo 5
Aplicando ao
e ao
:
com o eixo :
com o eixo
com o eixo
:
Resposta
Os eixos principais formam ângulos de
com o eixo
, de modo que
para ambos os eixos em relação a
.
Em relação ao eixo , os cossenos são
para o eixo em
e
para o eixo em
.
Em relação ao eixo