Indique na ordem quais foram o axiomas utilizados na demonstração da unicidade do elemento inverso da adição da Proposição 1. Qual dos 4 axiomas da adição não foi utilizado em nenhum momento nesta demonstração?

Passo 1

Vamos analisar a questão que pede para identificar quais axiomas foram usados para provar que o elemento inverso da adição é único, além de qual axioma não foi utilizado nessa demonstração. Para resolver, precisamos conhecer os quatro axiomas básicos da adição.

Passo 2

Primeiro, consideramos o axioma da identidade, que estabelece que existe um elemento zero tal que a + 0 = a para qualquer elemento a . Esse axioma é fundamental porque define o elemento neutro na adição.

Passo 3

Em seguida, usamos o axioma associativo, que permite reagrupamento dos termos na adição: (a + b) + c = a + (b + c) . Esse axioma é importante para manipular expressões envolvendo múltiplas adições sem alterar o resultado.

Passo 4

Para provar a unicidade do inverso aditivo, assumimos que existem dois inversos, b e c , tais que:
a + b = 0 e a + c = 0
Usando o axioma associativo, podemos reescrever essas equações e, combinando-as, chegamos à conclusão de que b = c , ou seja, o inverso é único.

Passo 5

Observe que o axioma comutativo, que afirma que a + b = b + a , não foi necessário nessa demonstração. A prova da unicidade do inverso aditivo não depende da ordem dos elementos na adição.

Resposta

Os axiomas utilizados na demonstração foram o axioma da identidade e o axioma associativo. O axioma comutativo não foi utilizado.

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