Indique na ordem quais foram o axiomas utilizados na demonstração da unicidade do elemento inverso da adição da Proposição 1. Qual dos 4 axiomas da adição não foi utilizado em nenhum momento nesta demonstração?
Passo 1
Vamos analisar a questão que pede para identificar quais axiomas foram usados para provar que o elemento inverso da adição é único, além de qual axioma não foi utilizado nessa demonstração. Para resolver, precisamos conhecer os quatro axiomas básicos da adição.
Passo 2
Primeiro, consideramos o axioma da identidade, que estabelece que existe um elemento zero tal que
para qualquer elemento
. Esse axioma é fundamental porque define o elemento neutro na adição.
Passo 3
Em seguida, usamos o axioma associativo, que permite reagrupamento dos termos na adição:
. Esse axioma é importante para manipular expressões envolvendo múltiplas adições sem alterar o resultado.
Passo 4
Para provar a unicidade do inverso aditivo, assumimos que existem dois inversos,
e
, tais que:
Usando o axioma associativo, podemos reescrever essas equações e, combinando-as, chegamos à conclusão de que
, ou seja, o inverso é único.
Passo 5
Observe que o axioma comutativo, que afirma que
, não foi necessário nessa demonstração. A prova da unicidade do inverso aditivo não depende da ordem dos elementos na adição.
Resposta
Os axiomas utilizados na demonstração foram o axioma da identidade e o axioma associativo. O axioma comutativo não foi utilizado.