Mostre que para quaisquer m, n in Z, existe x in Z tal que m+x=n. Ou escrevendo de outra forma, mostre que a proposição
(forall n in Z)(forall n in Z)(exists x in Z)(m+x=n)
é verdadeira.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dados quaisquer m,ninZ, existe xinZ tal que
m + x = n
O que precisamos usar é que (Z,+) é um grupo abeliano: há fechamento na soma e todo elemento tem inverso aditivo.

Passo 2

Em Z existe, para cada m, o inverso aditivo -m. Ou seja,
-minZ e m + (-m) = 0
Também vale o fechamento: a soma de dois inteiros é inteira.

Passo 3

Definimos
x = n + (-m) = n - m
Como ninZ e -minZ, pelo fechamento segue xinZ.

Passo 4

Agora verificamos que esse x resolve a equação:
m + x = m + (n - m) = (m - m) + n = 0 + n = n

Resposta

Para quaisquer m,ninZ, basta escolher
x = n - minZ,
que satisfaz m + x = n. Portanto, a proposição é verdadeira.

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