Exercício 2 Encontre a equação do plano que passa pelo ponto P=(2,1,0) e é perpendicular aos planos
x+2 y-3 z+2=0 e 2 x-y+4 z-1=0

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano que passa pelo ponto P=(2,1,0) e é perpendicular aos planos
x+2y-3z+2=0 e 2x-y+4z-1=0
O conteúdo aqui é geometria de planos em R^3: um plano é determinado por um ponto e um vetor normal. Como queremos um plano perpendicular a ambos os dados, seu vetor normal deve ser ortogonal aos vetores normais dos planos dados.

Passo 2

Identificamos os vetores normais dos planos fornecidos:
n1=(1,2,-3), n2=(2,-1,4)

Passo 3

Para que o plano buscado seja perpendicular a ambos os outros, seu vetor normal n deve satisfazer
ncdot n1=0 e ncdot n2=0
Uma forma direta de obter tal n é usar o produto vetorial:
n = n1 times n2

Passo 4

Calculando o produto vetorial:
n = i & j & k 1 & 2 & -3 2 & -1 & 4 = (5,,-10,,-5)
Podemos simplificar cancelando o fator comum 5, ficando
n=(1,-2,-1)

Passo 5

Agora usamos a forma ponto–normal do plano:
ncdotl((x,y,z)-(2,1,0)r)=0
Substituindo n=(1,-2,-1) e expandindo, vem
1,(x-2)-2,(y-1)-1,(z-0)=0,
que se organiza em
x-2y-z=0

Resposta

A equação do plano é
x - 2y - z = 0

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