Exercício 0.1 Encontre uma fórmula para a função inversa de cada função dada.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar uma fórmula para a função inversa da função dada. A função fornecida é
.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A expressão explícita da função é
. - A operação presente é a exponencial na base
com um deslocamento horizontal (por ) e um deslocamento vertical (somar ). - Não há restrições explícitas no domínio de
na expressão original (portanto, presumimos domínio para a função exponencial aplicada aqui).
Passo 2
Entender o objetivo técnico para achar a inversa: dado
expresso em termos de
, vamos isolar
em função de
. Depois trocamos os nomes das variáveis (trocar
por
ou, mais comum, escrever a inversa como
). Começamos reescrevendo a igualdade e isolando a parte exponencial:
Passo 3
Agora precisamos “desfazer” a exponenciação. A função inversa da exponencial na base
é o logaritmo natural, denotado
. Propriedade principal que usaremos:
Antes de aplicar
, observar o domínio necessário:
só é definida para argumentos positivos. Portanto o membro esquerdo
precisa ser
, isto é
. Isso também nos diz que a imagem (o conjunto de valores possíveis de
) da função original é
.
Passo 4
Aplicar
aos dois lados da igualdade
. Pela propriedade do logaritmo:
Aqui usamos que
é a função inversa de
, de modo que ela anula a exponencial.
Passo 5
Isolar
na expressão obtida:
Agora temos
escrito em função de
, que é exatamente o passo intermediário para obter a inversa.
Passo 6
Trocar os nomes das variáveis para escrever a função inversa no formato usual: trocar
por
e
por
, ou simplesmente escrever
. Fazendo isso obtemos
Lembrar da condição de existência: o argumento do
exige
, logo o domínio de
é
. Isso corresponde à imagem da função original.
Passo 7
Verificação rápida (opcional, mas útil na prova): compor
com
para checar se recuperamos
. Tomando
,
desde que
. Isso confirma que a fórmula está correta na sua região de validade.