Exercício 0.1 Encontre uma fórmula para a função inversa de cada função dada.
y=e^{x-1}+2

Passo 1

O enunciado pede: encontrar uma fórmula para a função inversa da função dada. A função fornecida é
y=e^{x-1}+2.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A expressão explícita da função é y=e^{x-1}+2.
  • A operação presente é a exponencial na base e com um deslocamento horizontal (por x-1) e um deslocamento vertical (somar 2).
  • Não há restrições explícitas no domínio de x na expressão original (portanto, presumimos domínio (-\infty,\infty) para a função exponencial aplicada aqui).

Passo 2

Entender o objetivo técnico para achar a inversa: dado y expresso em termos de x, vamos isolar x em função de y. Depois trocamos os nomes das variáveis (trocar x por y ou, mais comum, escrever a inversa como f^{-1}(x)). Começamos reescrevendo a igualdade e isolando a parte exponencial:
y = e^{x-1} + 2 \quad\Rightarrow\quad y-2 = e^{x-1}.

Passo 3

Agora precisamos “desfazer” a exponenciação. A função inversa da exponencial na base e é o logaritmo natural, denotado \ln. Propriedade principal que usaremos:
\ln\!\big(e^{u}\big) = u\quad\text{para todo }u\in\mathbb{R}.
Antes de aplicar \ln, observar o domínio necessário: \ln só é definida para argumentos positivos. Portanto o membro esquerdo y-2 precisa ser >0, isto é y>2. Isso também nos diz que a imagem (o conjunto de valores possíveis de y) da função original é (2,\infty).

Passo 4

Aplicar \ln aos dois lados da igualdade \,y-2 = e^{x-1}\,. Pela propriedade do logaritmo:
\ln(y-2) = \ln\!\big(e^{x-1}\big) = x-1.
Aqui usamos que \ln é a função inversa de e^{(\cdot)}, de modo que ela anula a exponencial.

Passo 5

Isolar x na expressão obtida:
x = 1 + \ln(y-2).
Agora temos x escrito em função de y, que é exatamente o passo intermediário para obter a inversa.

Passo 6

Trocar os nomes das variáveis para escrever a função inversa no formato usual: trocar x por y e y por x, ou simplesmente escrever f^{-1}(x). Fazendo isso obtemos
f^{-1}(x)=1+\ln(x-2).
Lembrar da condição de existência: o argumento do \ln exige x-2>0, logo o domínio de f^{-1} é (2,\infty). Isso corresponde à imagem da função original.

Passo 7

Verificação rápida (opcional, mas útil na prova): compor f com f^{-1} para checar se recuperamos x. Tomando f(f^{-1}(x)),
f\big(f^{-1}(x)\big)=e^{(1+\ln(x-2))-1}+2=e^{\ln(x-2)}+2=(x-2)+2=x,
desde que x>2. Isso confirma que a fórmula está correta na sua região de validade.

Resposta

f^{-1}(x)=1+\ln(x-2),\quad \text{domínio }(2,\infty)í

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