Use a a Regra da Cadeia para achar d z / d t ou d w / d t.
z=x^2+y^2+x y, x=sin t, y=e^t

Passo 1

O enunciado nos dá uma função de duas variáveis
z = x^2 + y^2 + x,y
onde x e y dependem de t segundo
x = sin t, y = e^t
O conteúdo é a Regra da Cadeia para funções de várias variáveis, ou seja,
dzdt = partial zpartial x,dxdt + partial zpartial y,dydt

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de z e as derivadas de x e y em função de t:
partial zpartial x = 2x + y, partial zpartial y = 2y + x,
dxdt = ddt(sin t) = cos t, dydt = ddt(e^t) = e^t

Passo 3

Aplicando a Regra da Cadeia temos
dzdt = (2x + y),cos t + (2y + x),e^t
Substituindo x = sin t e y = e^t, obtemos
dzdt = l(2sin t + e^tr)cos t + l(2e^t + sin tr)e^t = 2sin tcos t + e^tcos t + 2e^2t + sin t,e^t

Resposta

dzdt = 2sin tcos t + e^tcos t + sin t,e^t + 2e^2t

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