Exercicio 3. Sejam f(x, y)=2 x+y e A o conjunto de todos (x, y) tais que x^2+y^2=1.
a) Determine, caso existam, os valores máximo e mínimo de f em A.
b) Determine os pontos de máximo e mínimo de f em A

Resp:

a) f máx =raiz5 e f mín =-raiz5áí
b) (2 raiz55, raiz55) e(-2 raiz55,-raiz55)

Passo 1

O exercício pede para achar máximos e mínimos de uma função linear com restrição circular. A função é f(x,y)=2x+y e a restrição é x²+y²=1. Vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange, que é o conteúdo principal aqui.

Passo 2

Definimos a função de restrição g(x,y)=x²+y²−1. Pelo método, precisamos resolver ∇f=λ∇g e g(x,y)=0.

Passo 3

Calculamos os gradientes: ∇f=(2,1) e ∇g=(2x,2y). Igualando: 2=λ⋅2x e 1=λ⋅2y, o que dá x=1/λ e y=1/(2λ).

Passo 4

Substituímos na restrição x²+y²=1:

Passo 5

1lambda^2+14lambda^2=1

Passo 6

Daqui vem 5/(4λ²)=1, logo λ²=5/4 e λ=±√5/2. Para λ=+√5/2 obtemos x=2/√5, y=1/√5; para λ=−√5/2 obtemos x=−2/√5, y=−1/√5.

Passo 7

Calculamos f nos dois pontos: para (2/√5,1/√5), f=2·(2/√5)+1/√5=5/√5=√5 (máximo); para (−2/√5,−1/√5), f=−√5 (mínimo).

Resposta

a) fmax=raiz5 e fmin=-raiz5
b) Ponto de máximo: l(tfrac2raiz55,tfracraiz55r); ponto de mínimo: l(-tfrac2raiz55,-tfracraiz55r).

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