Exercicio 3. Sejam
e
o conjunto de todos
tais que
.
a) Determine, caso existam, os valores máximo e mínimo de
em
.
b) Determine os pontos de máximo e mínimo de
em
Resp:
a)
b)
a) Determine, caso existam, os valores máximo e mínimo de
b) Determine os pontos de máximo e mínimo de
b)
Passo 1
O exercício pede para achar máximos e mínimos de uma função linear com restrição circular. A função é f(x,y)=2x+y e a restrição é x²+y²=1. Vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange, que é o conteúdo principal aqui.
Passo 2
Definimos a função de restrição g(x,y)=x²+y²−1. Pelo método, precisamos resolver ∇f=λ∇g e g(x,y)=0.
Passo 3
Calculamos os gradientes: ∇f=(2,1) e ∇g=(2x,2y). Igualando: 2=λ⋅2x e 1=λ⋅2y, o que dá x=1/λ e y=1/(2λ).
Passo 4
Substituímos na restrição x²+y²=1:
Passo 5
Passo 6
Daqui vem 5/(4λ²)=1, logo λ²=5/4 e λ=±√5/2. Para λ=+√5/2 obtemos x=2/√5, y=1/√5; para λ=−√5/2 obtemos x=−2/√5, y=−1/√5.
Passo 7
Calculamos f nos dois pontos: para (2/√5,1/√5), f=2·(2/√5)+1/√5=5/√5=√5 (máximo); para (−2/√5,−1/√5), f=−√5 (mínimo).
Resposta
a)
e
b) Ponto de máximo: ; ponto de mínimo:
.
b) Ponto de máximo: