Exercício 1.8. Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n}{7^{n}}(x-2)^{n}

Passo 1

O enunciado nos dá a série de potências centrada em x=2:
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n}{7^{n}}(x-2)^{n}.
O objetivo é encontrar o raio de convergência R e o intervalo de convergência, usando o teste da razão.

Passo 2

Aplicamos o teste da razão aos termos gerais a_n(x-2)^n, em que a_n = \frac{n}{7^n}. Calculamos
L \;=\;\lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}(x-2)^{n+1}}{a_n(x-2)^n}\right| =\lim_{n\to\infty} \left|\frac{\frac{n+1}{7^{n+1}}}{\frac{n}{7^n}}\,(x-2)\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{7\,n}\,\bigl|x-2\bigr| =\frac{1}{7}\,\bigl|x-2\bigr|.
Pelo teste da razão, a série converge se L<1.

Passo 3

Da condição
\frac{1}{7}\,\bigl|x-2\bigr|<1
vem
\bigl|x-2\bigr|<7.
Portanto o raio de convergência é
R = 7,
e o intervalo de convergência obrigatório (sem ainda testar as extremidades) é
2-7 < x < 2+7 \quad\Longrightarrow\quad -5 < x < 9.

Passo 4

Agora testamos os pontos finais.
Para x=-5, temos x-2=-7 e a série vira
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n}{7^n}(-7)^n =\sum_{n=0}^{\infty} n\,(-1)^n.
Os termos gerais não tendem a zero ( \lim_{n\to\infty}n(-1)^n não existe), logo diverge.
Para x=9, temos x-2=7 e a série vira
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n}{7^n}\,7^n =\sum_{n=0}^{\infty} n,
que também diverge porque os termos gerais n não tendem a zero.

Resposta

O raio de convergência é R=7 e o intervalo de convergência é
(-5,\,9).

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