Exercício 1.8. Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
Passo 1
O enunciado nos dá a série de potências centrada em
:
O objetivo é encontrar o raio de convergência
e o intervalo de convergência, usando o teste da razão.
Passo 2
Aplicamos o teste da razão aos termos gerais
, em que
. Calculamos
Pelo teste da razão, a série converge se
.
Passo 3
Da condição
vem
Portanto o raio de convergência é
e o intervalo de convergência obrigatório (sem ainda testar as extremidades) é
Passo 4
Agora testamos os pontos finais.
Para
, temos
e a série vira
Os termos gerais não tendem a zero (
não existe), logo diverge.
Para
, temos
e a série vira
que também diverge porque os termos gerais
não tendem a zero.
Resposta
O raio de convergência é
e o intervalo de convergência é