Exercício 1.8. Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n+2}

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n+2}.
O conteúdo é séries de potências e vamos usar o teste da razão para obter o raio R e depois testar os dois extremos x=1 e x=-1.

Passo 2

Aplicamos o teste da razão. Seja
a_n = \frac{x^n}{n+2}.
Então
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \left|\frac{x^{n+1}/(n+3)}{x^n/(n+2)}\right| = |x|\;\frac{n+2}{n+3} \quad\longrightarrow\quad |x| \quad(\text{quando }n\to\infty).

Passo 3

Pelo teste da razão, a série converge se
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|<1 \quad\Longleftrightarrow\quad |x|<1.
Logo, o raio de convergência é
R = 1.

Passo 4

No extremo x=1 a série fica
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+2},
que é comparável à série harmônica e diverge.

Passo 5

No extremo x=-1 a série fica
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n+2}.
Os termos \frac{1}{n+2} são positivos, decrescentes e tendem a zero, então pelo teste de Leibniz a série converge (condicionalmente).

Resposta

Raio de convergência: R = 1
Intervalo de convergência: [-1,1)

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